Problema tecnico con la prova del teorema di PCP

Sto leggendo la prova da qui e mi sono imbattuto in un problema tecnico (ma cruciale). So che questo è piuttosto specifico e il contesto è problematico, ma non sono riuscito a capirlo da solo.

Nelle pagine 51 e 55, dopo aver presentato i verificatori "standard", si alternano per modificare i verificatori al fine di controllare le assegnazioni divise.

Nel primo caso (p. 51) controllano che $f_1,\dots,f_k$ siano $0.01$ vicini al codice polinomiale, quindi usano l'algebraizzazione (+ zero-tester) per costruire una famiglia di polinomi (con una somma -Controlla la proprietà relativa alla formula di input) che ciascuno può essere valutato in un punto dato 3 valori di ciascuno di $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (le parole in codice dell'armadio del codice polinomiale in $f_1,\dots,f_k$ ).

Nel secondo caso (p. 55) controllano che $f_1,\dots,f_k$ siano $0.01$ -chiudono essere lineari, quindi definiscono una funzione $f$ per essere una somma speciale di $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ tale che $f$ può essere valutato in un punto dato i valori di ciascuno di $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (l'armadio delle funzioni lineari a $f_1,\dots,f_k$ ).

Quindi in entrambi i casi eseguono test (Sum-Check o Tensor + Hadamard) sui valori di un polinomio casuale nella famiglia / $\widetilde{f}$ .

Il mio problema è che la procedura per la ricostruzione dei valori richiesti di ciascuno di $\widetilde{f}_i$ può fornire valori errati con qualche probabilità costante non trascurabile . Inoltre, la probabilità che tutti i valori sono ricostruiti correttamente è molto bassa, solo $c^k$ per una costante $c$ . E questo è vero per entrambi i casi.

Questo può essere negativo in quanto alcuni passaggi dei verificatori richiedono per ottenere valori della funzione target $f$ / a polinomiale dalla famiglia whp

Quindi, abbiamo bisogno di amplificare la probabilità di successo usando ripetutamente la "procedura algebrica di ricostruzione" alcune volte $O(\log k)$ per ogni $\widetilde{f}_i$ .

Ciò significa che l'esplosione nella complessità della query della sub-routine (relativamente alla complessità della query dei verificatori originali) è leggermente più grande di $k$ , ovvero è $O(k\log k)$ (in contrasto con " garantito "-" desiderato " $O(k)$ esplosione nell'affermazione dei teoremi).

È un problema o mi sto perdendo qualcosa (cosa che probabilmente mi manca)?

cc.complexity-theory pcp

— Don Fanucci
fonte

Scusate se questo dovrebbe essere ovvio, ma dov'è l'affermazione dei teoremi che richiede un ingrandimento

? Sulla base di una lettura sommaria,

sembra essere un intero costante fisso (non è vero?).

O (k)

$O(k)$

k

$k$

— Clemente C.

@ClementC. Guarda le definizioni numerate 3.2 e 3.3 combinate successivamente con il lemma di ricorsione della composizione (e soprattutto con la sua prova). Si noti che l'unico posto in cui viene utilizzata la normale capacità del verificatore di forme di controllare le assegnazioni divise è nella prova del lemma della composizione (in effetti, in qualsiasi altro luogo è una "grande responsabilità" da affrontare, durante la costruzione di verificatori). Lì, nella dimostrazione,

non è affatto una costante.

k

$k$

— Don Fanucci,

p = Q (n)

$p=Q(n)$

Q (n) = 1

$Q(n)=1$

\log k

$\log k$

p

$p$

$O(1)$ $O(poly(logn))$

$O(1)$

$O(poly(f(n)))$

$O(1)$

— Lem n
fonte