Esistono x tali che K (xx) <K (x), dove K è la completezza di Kolmogorov.

Consenti a indicare la complessità di Kolmogorov di una stringa . Esiste una stringa tale che . (Qui è la concatenazione di con se stesso). Una domanda simile ma diversa è stata posta qui , ma il controesempio fornito nella risposta a quella domanda non funziona per questo. $K(x)$ $x$ $K(xx)<K(x)$ $xx$ $x$

cc.complexity-theory kolmogorov-complexity

— Sune Jakobsen
fonte

Risposte:

Non sono un esperto di complessità di Kolmogorov, ma penso che tale x possa essere costruita per ogni funzione di complessità K come segue. Poiché 1, 11, 1111, 11111111, ..., 1 ^{2 ⁿ} , ... è una codifica di un numero naturale n , K (1 ^{2 ⁿ} ) non può essere o (log n ). Tuttavia, quando n = 2 ^m , ovviamente K (1 ^{2 ⁿ} ) = K (1 ^{2 ^{2 ^m}} ) = O (log m ) = O (log log n ). Pertanto la sequenza K (1), K (11), K (1111), K (11111111), ..., K (1 ^{2 ⁿ} ), ... non può essere debolmente crescente monotonicamente, il che significa che esiste una stringax nella forma 1 ^{2 ⁿ} tale che K ( xx ) <K ( x ).

— Tsuyoshi Ito
fonte

@Tsuyoshi, Esiste una stringa incomprimibile

tale che

x

$x$

K (x x) < K (x)

$K(xx)\lt K(x)$

— Mohammad Al-Turkistany,

Penso che

e K (1 ^ {2 ^ n}) = Ω (log n) si contraddicano. Ciò che intende è: Se

allora

. Altrimenti la prova sembra a posto.

K (1^{2^{2^{m}}}) = O (\log m)

$K(1^{2^{2^m}})=O(\log m)$

f (n) = o (\log n)

$f(n)=o(\log n)$

K (1^{2^{n}}) \neq O (f (n))

$K(1^{2^n})\neq O(f(n))$

— Sune Jakobsen,

Questo sembra funzionare. In effetti, penso che ti dia una sequenza infinita di tali stringhe. Tuttavia, o sto fraintendendo qualcosa, o l'affermazione della regola della catena per la complessità di Kolmogorov che appare in wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Chain_rule_for_Kolmogorov_complexity ) è quindi sbagliata. Inizialmente ho pensato che la definizione di Wikipedia potrebbe non essere applicabile qui, poiché lì devi essere in grado di sapere dove finisce X e Y iniziano, mentre qui sembra non essere richiesto, ma quando Y = X puoi aggiungerlo alla descrizione in O (1) dicendo "diviso in mezzo".

— Abel Molina,

@Sune: la notazione Ω (⋅) ha diverse definizioni leggermente diverse. "K (1 ^ 2 ^ n) = Ω (log n)" nella mia risposta significa "limsup K (1 ^ 2 ^ n) / log n> 0" e non contraddice "K (1 ^ 2 ^ 2 ^ m) = O (log m). ”Ho modificato la risposta per chiarire questo punto. Vedi anche Quale definizione di tasso di crescita asintotica dovremmo insegnare?

— Tsuyoshi Ito,

@turkistany and all: Nota che è sempre vero che K (xx)> K (x) -c per qualche costante, ho pensato che questo dovesse essere sottolineato. Questo significa anche che abbiamo bisogno di una definizione molto precisa di incomprimibile se vogliamo studiare questa domanda. Immagino che la risposta sia di nuovo sì, ma non ho una prova.

— domotorp,

Sì. La complessità di Kolomogorov in pratica dipende dal tuo modello. Turing machine, programma Java, programma C ++, ... se c'è un'idiosincrasia nel tuo modello che consente che ciò avvenga su una serie finita di input, non è un problema.

La domanda migliore è quanto di questo comportamento puoi cavartela e far sì che il modello sia universale.

— Chad Brewbaker
fonte

Penso che una domanda migliore sia: esiste tale x per tutti i modelli? Non so che cosa sia formalmente un "modello", ma sembra che la risposta di Tsuyoshis funzioni per tutti i linguaggi di programmazione ragionevoli.

— Sune Jakobsen,

Puoi assegnare

e qualcosa di più grande per

e avere ancora un modello universale.

0

$0$

x x

$xx$

x

$x$

— Kaveh,

@Tsuyoshi:

Non ho capito bene la tua prova.

$K(s)$ $s$

$TM_{ss}$ $ss = 1111...1 = 1^{2^{n+1}}$ $TM_{s}$ $s = 1^{2^n}$ ?

La tua prova può essere applicata alla complessità di Kolmogorov sulle TM?

OK! LO HO OTTENUTO ... quando $n+1 = 2^{m}$ il $TM_{ss}$ può essere "alimentato" con un nuovo "ciclo interno" (aggiungiamo alcuni stati ma possiamo rimuovere molti stati che in $TM_{s}$ sono necessari per "contare" $n$ ) ... Grazie!

(scusa, ma non so come postarlo come commento)

— Marzio De Biasi
fonte

Per scrivere un commento su un post fatto da qualcuno diverso da te che non è una risposta alla tua domanda, devi avere almeno 50 punti di reputazione.

— Tsuyoshi Ito