Analisi matematica e complessità computazionale?

14

la complessità computazionale comporta grandi quantità di combinatoria e teoria dei numeri, alcune ingridienze da stocastica e una quantità emergente di algebra.

Tuttavia, essendo un analista, mi chiedo se ci siano applicazioni di analisi in questo campo o forse idee ispirate all'analisi. Tutto quello che so che corrisponde leggermente a questa è la trasformata di Fourier su gruppi finiti.

Mi potete aiutare?

— Kaveh
fonte

1

Controlla le domande taggate analisi calcolabile. Contengono buoni riferimenti. cstheory.stackexchange.com/questions/tagged/computable-analysis

— Mohammad Al-Turkistany

Che cos'è l'analisi matematica?

— Yaroslav Bulatov,

@Yaroslav: vedi en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_analysis .

— MS Dousti,

7

Che ne dici di Analitica Combinatoria? algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html

— Yoshio Okamoto,

Yoshio, considera di convertire il tuo commento in una risposta.

— Mohammad Al-Turkistany,

18

Flajolet e Sedgewick hanno pubblicato il libro "Analytic Combinatorics" http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/anacombi.html . Non so molto su questo argomento, ma le persone sul campo usano strumenti di analisi complesse. Finora, le loro applicazioni sembrano più sull'analisi degli algoritmi, non sulla complessità computazionale, per quanto vedo.

— Yoshio Okamoto
fonte

Tecniche simili (apparentemente) possono essere utilizzate per ottenere risultati di runtime asintotici (previsti) - con costanti.

— Raphael,

9

Gli algoritmi Markov Chain Monte Carlo sono uno strumento utile per trovare algoritmi di approssimazione. Alcune tecniche per dimostrare che queste catene di catene di Markov sono ispirate o provengono direttamente dall'analisi - ad esempio vedere il capitolo sulla stima del volume di un corpo convesso nel libro di Mark Jerrum sul conteggio .

Esistono approcci analitici al lemma di Szemerédi, che ha un'applicazione carina per i test delle proprietà combinatorie. Lemma for the Analyst di Szemerédi ha un algoritmo randomizzato per trovare una partizione debolmente regolare di un grafico; vedere anche Limiti del grafico e Test dei parametri .

— Colin McQuillan
fonte

1

Una connessione dei metodi Monteov Chain di Monte Carlo con l'analisi mi ricorda il libro di Montenegro e Tetali "Aspetti matematici dei tempi di miscelazione nelle catene di Markov" dx.doi.org/10.1561/0400000003 .

— Yoshio Okamoto,

8

L'analisi funzionale sta giocando un ruolo sempre più importante nella teoria degli incorporamenti metrici. Sebbene sia difficile enumerare tutti gli aspetti dell'interazione, il tema principale è l'uso di metodi dall'analisi funzionale per comprendere come le metriche si incorporano negli spazi normati. Quest'ultimo problema si presenta nel problema del taglio più raro, che è un importante problema di ottimizzazione del grafico.

Per ulteriori informazioni, una buona fonte è qualsiasi cosa di Assaf Naor .

— Suresh Venkat
fonte

7

Non sulla complessità computazionale, ma comunque interessante

Alcuni approcci alla semantica del calcolo infinito si basano su spazi metrici. Googling "semantica dello spazio metrico" risulta molto. Un riferimento (antico) sull'argomento è Control Flow Semantics di de Bakker e de Vink. Alcuni lavori recenti sono stati svolti dal nostro Neel , ovvero la semantica ultrametrica per i programmi reattivi . L'area è molto diversa da quelle sopra descritte, ma i concetti dell'analisi trovano sicuramente casa qui.

— Dave Clarke
fonte

6

La teoria della misura limitata dalle risorse sviluppata da Jack Lutz è una grande area per le persone che hanno un background in analisi su cui lavorare. La carta originale

Quasi ovunque elevata complessità non uniforme , Jack H. Lutz, Journal of Computer and System Sciences, 1992.

generalizzare la nozione di misura di Lebesgue in classi di complessità, e molti lavori seguenti possono essere trovati su Internet.

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{ESPACE}$ $\Omega(2^n/n)$ $\mathsf{ESPACE}$

— Hsien-Chih Chang 張顯之
fonte

E

$E$

T I M E [2^{O (n)}]

$TIME[2^{O(n)}]$

E

$E$

Ω (2^{n} / n)

$\Omega(2^{n}/n)$

E S P A C E = D S P A C E [2^{O (n)}]

$\mathsf{ESPACE} = \mathsf{DSPACE}[2^{O(n)}]$

È possibile che NP abbia una misura positiva in ESPACE? Avevo creduto che PSPACE (e quindi anche NP) avesse misurato zero in ESPACE.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: devo dire che non lo so. Almeno non ci sono prove dirette che NP abbia o meno una misura positiva. Sono curioso di sapere cosa ti ha fatto credere che PSPACE abbia misura zero in ESPACE?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

L'ho pensato per analogia perché mi sono ricordato di aver visto che "P ha misura 0 in E." Dopo aver cercato su Google, ho scoperto che il capitolo del libro " La struttura quantitativa del tempo esponenziale " cita l'articolo che hai citato per il risultato "P ha misura 0 in E." Sfortunatamente non ho capito questo risultato (anche cosa significhi esattamente l'affermazione), e non posso essere sicuro che implichi davvero "PSPACE ha misura 0 in ESPACE" per analogia (o anche che questa affermazione abbia un senso).

— Tsuyoshi Ito,

5

Le persone che lavorano in diverse aree dell'informatica possono beneficiare di vari sottocampi di analisi.

Per darvi un esempio concreto, descriverò il mio caso. Sto conducendo ricerche sulle basi della crittografia. In questo campo (così come nella complessità computazionale), c'è un costrutto chiamato l' oracolo casuale (vedi anche questa pagina ). Le sue varie proprietà sono talvolta studiate sfruttando gli strumenti della teoria della misura , che è un sottocampo di analisi. Tale trattamento può essere trovato in questo documento , così come in diversi articoli che lo citano.

Puoi anche dare un'occhiata a Basics of Algebra and Analysis for Computer Science di Jean Gallier. È un libro in corso e ti dice cosa c'è di nuovo nel campo.

— MS Dousti
fonte

4

Credo che la migliore connessione tra analisi matematica e teoria della complessità sia nel vero modello di calcolo di Blum et al. È ancora un problema aperto separare NP_R da P_R, in cui le due classi sono definite nel modello di calcolo reale, in cui ogni numero reale è un'entità e un'operazione regolare (+, -, *, /) fa un passo.

— Bin Fu
fonte

Benvenuto in Cstheory, Bin Fu! Dovrei dire, tuttavia, che il modello Blum et al è controverso e molti analisti calcolabili preferiscono l'efficacia del secondo tipo, poiché il modello Blum et al sembra irrealistico. Vedi questa domanda per ulteriori discussioni.

— Aaron Sterling,