Risultati di bootstrap che si avviano davvero

Esiste un tipo di risultati in TCS generalmente chiamati risultati bootstrap . In generale, è nella forma

Se la proposizione $A$ vale, allora la proposizione $A'$ vale.

dove $A$ e $A'$ sono proposizioni che sembrano simili, e $A$ è apparentemente "più debole" di $A'$ , che è la ragione per cui chiamiamo questo tipo di risultati. Vorrei fare alcuni esempi concreti:

Teorema. [Chen and Tell, STOC'19] Risolvi qualsiasi problema $\Pi \in \{\mathsf{BFE,W_{S_5},W5STCONN}\}$ . Supponiamo che per ogni $c>1$ esistano infinitamente molti $d\in \mathbb{N}$ tale che $\mathcal{TC}^0$ circuiti di profondità $d$ abbiano bisogno di più di $n^{1+c^{-d}}$ fili per risolvere il problema $\Pi$ . Quindi per qualsiasi $d_0,k \in \mathbb{N}$$\Pi$$\mathcal{TC}^0$$d_0$$n^k$$\mathcal{TC}^0 \subsetneq \mathcal{NC}^1$

Teorema. [Gupta et al., FOCS'13] Supponiamo che il calcolo del permanente richieda circuiti aritmetici di profondità di dimensioni superiori a , su campi con caratteristica . Quindi calcolare il permanente richiede circuiti aritmetici di dimensioni superpolinomiali, e quindi vale la congettura di Valiant.$3$$n^{\Omega(\sqrt{n})}$$0$

Bene, un esempio più famoso ma non così appropriato viene dalla complessità a grana fine:

Teorema. [Backurs and Indyk, STOC'15] Se riusciamo a calcolare EDIT DISTANCE in (sul modello RAM), avremo un solutore SAT più veloce di qualsiasi altro attualmente esistente.$O(n^{2-\epsilon})$

Aggiornare. (10 luglio 2019) L'esempio di modifica della distanza potrebbe essere un po 'confuso. Fare riferimento alla risposta di Ryan per un esempio "standard".

Come avrai immaginato, (per quanto ne so ), tutti i risultati di questo tipo sono dimostrati prendendo il contrappeso (ho preso il contrappeso nella prima modifica). Quindi, in un certo senso, questi sono tutti risultati algoritmici.

Di solito ci sono due modi per capire un risultato di bootstrap. 1. Dobbiamo solo provare e quindi applicare il risultato, se vogliamo dimostrare ; 2. Provare può essere difficile perché a priori pensiamo che provare difficile.$A$$A'$$A$A ′$A'$

Il problema è che, uno (o più esattamente, I ) potrebbe essere difficilmente ottimista e prendere la prima comprensione, se dopo tutto non esiste alcun uso positivo dei risultati di bootstrap! Quindi la mia domanda è

Conosciamo qualche risultato di bootstrap in cui è dimostrato?$A$

Un classico risultato dimostrabile dal bootstrap (e applicabile alla dimostrazione di limiti inferiori reali) è che in qualsiasi modello computazionale in cui abbiamo $TIME(n) \neq TIME(n^c)$ per una costante $c > 1$ , in effetti avere $TIME(n) \neq TIME(n^{1+\epsilon})$ , per ogni $\epsilon > 0$ .

L'idea è che se $TIME(n) = TIME(n^{1+\epsilon})$ , possiamo applicare ripetutamente un argomento di riempimento per ottenere $TIME(n) = TIME(n^c)$ per ogni costante $c$ . Puoi persino usare un simile argomento per migliorare leggermente i teoremi della gerarchia temporale nota in vari casi.

Non sono sicuro che ciò valga perché proviene tutto dallo stesso documento, ma nel primo passaggio di Craig Gentry alla crittografia completamente omomorfa basata su reticoli ideali , mostra innanzitutto che per costruire uno schema FHE, è sufficiente costruire un "un po ' schema di crittografia "omomorfo" con una certa proprietà (il suo circuito di decrittazione è più basso delle profondità che il circuito può crittografare). Quindi, con molto lavoro, mostra come costruire uno schema di crittografia un po 'omomorfo.

La recente prova di Huang di $A'$ , la congettura della sensibilità, ha comportato la dimostrazione di un $A$ noto per implicarlo. Vedi il blog di Aaronson:

Dal lavoro pioneristico di Gotsman e Linial nel 1992, si sapeva che per provare la congettura della sensibilità, è sufficiente provare la seguente congettura combinatoria $A$ ancora più semplice :

Sia S qualsiasi sottoinsieme dell'ipercubo booleano n-dimensionale, $\{0,1\}^n$ , che ha dimensione $2^{n-1}+1$ . Quindi deve esserci un punto in S con almeno ~ nc vicini in S.

Una cosa che viene in mente, nella teoria dell'apprendimento computazionale, è il potenziamento . Essenzialmente:

$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$

In genere, questo viene effettivamente utilizzato ottenendo uno studente debole.