"Parenti" del problema del percorso più breve

Considera un grafico non orientato collegato con pesi dei bordi non negativi e due vertici distinti $s,t$ . Di seguito sono riportati alcuni problemi di percorso che sono tutti della seguente forma: trovare un percorso $s-t$ , in modo tale che alcune funzioni dei pesi dei bordi sul percorso siano minime. In questo senso sono tutti "parenti" del problema del percorso più breve; in quest'ultimo la funzione è semplicemente la somma.

Nota: stiamo cercando percorsi semplici, cioè senza vertici ripetuti. Dato che non ho trovato nomi standard per questi problemi in letteratura, li ho nominati io stesso.

Percorso con gap di peso minimo: trovare un percorso $s-t$ , in modo tale che la differenza tra i pesi dei bordi più grandi e più piccoli sul percorso sia minima.

Percorso più regolare: trova un percorso $s-t$ , in modo tale che la dimensione del gradino più grande sul percorso sia minima, dove una dimensione del gradino è il valore assoluto della differenza di peso tra due bordi consecutivi .

Percorso con altitudine minima: definiamo l'altitudine di un percorso dalla somma delle dimensioni del passo lungo il percorso (vedere la definizione della dimensione del passo sopra). Trova un percorso $s-t$ con altitudine minima.

Percorso con peso primo minimo: supponendo che tutti i pesi del bordo siano numeri interi positivi, trovare un percorso $s-t$ , in modo tale che il suo peso sia un numero primo. Se esiste un percorso del genere, trovane uno con il peso primo più piccolo possibile.

Domanda: cosa si sa di questi problemi di percorso? (E altri che potrebbero essere concepiti in uno spirito simile, applicando una diversa funzione dei pesi.) In generale, c'è qualche guida che quali funzioni dei pesi dei bordi possano essere minimizzate nel tempo polinomiale e quali NP-difficili?

$s$$t$$s-t$

Ecco una risposta al primo problema:

Percorso con gap di peso minimo: trovare un percorso s - t$s-t$

Un articolo del 1984 mostra che ogni volta che possiamo decidere la fattibilità (esiste una soluzione nel caso non ponderato) per qualche problema di ottimizzazione combinatoria in tempo polinomiale, possiamo anche trovare in tempo polinomiale una soluzione che minimizza la differenza tra il più grande e il più piccolo coefficiente di costo (nel caso ponderato):

S. Martello, WR Pulleyblank, P. Toth, D. de Werra
Problemi di ottimizzazione bilanciata
Operazioni Ricerca Lettere 3, 1984, Pagine 275-278

Ciò implica un algoritmo temporale polinomiale alla tua domanda.

$\tilde{O}(|E|^2)$$|E|$$|E|$

$\tilde{O}(|E|)$$|E|^2$$k$$k-1$

$S$$Θ(n/\log n)$$\mathrm{P}^S$anche per i pesi binari: è sufficiente tenere traccia dei pesi polinomialmente più bassi (dipendenti da ) in ciascun punto. Tuttavia, con i pesi primi, potremmo dover diversificare i divisori delle differenze di peso (invece di tenere traccia dei pesi più bassi), e non è chiaro se sia abbastanza.$S$

Percorso più regolare: NP completo. Se permettessimo autointersezioni, ciò sarebbe risolvibile in time , ma per la versione senza autointersezioni, ecco una riduzione da 3-SAT con variabili. Hanno vertici , più un vertice per ogni clausola. Per ogni variabile ( ), aggiungi un percorso uniforme (utilizzando se necessario vertici extra) da a che passa attraverso tutte le clausole con occorrenza positiva di e un percorso simile per le clausole con$\tilde{O}(|E|)$$n$$s=v_0,v_1,...,t=v_n$$x_i$$i<n$$v_i$$v_{i+1}$$x_i$$¬x_i$. Impostare il primo e l'ultimo peso del bordo di ciascun percorso su 1 (o un'altra costante), ma altrimenti scegliere pesi in modo tale che nessun altro percorso sia liscio. Infine, duplica tutti i vertici della clausola e i bordi adiacenti; in questo modo ogni clausola può essere visitata al massimo due volte, il che è sufficiente per 3-SAT.