Perché la congettura avida è così difficile?

Di recente ho appreso della congettura avida per il problema delle superstringhe più corte .

In questo problema, ci viene data una serie di stringhe $s_1,\dots, s_n$ e vogliamo trovare la superstringa più corta $s$ ovvero tale che ogni $s_i$ appaia come una sottostringa di $s$ .

Questo problema è NP-difficile e dopo una lunga sequenza di documenti l'algoritmo di approssimazione più noto per questo problema ha un rapporto $2+\frac{11}{30}$ [Paluch '14].

In pratica, i biologi usano il seguente algoritmo Greedy:

Ad ogni passaggio, unire due stringhe che hanno la massima sovrapposizione su tutte le coppie (il suffisso massimo che è il prefisso di un'altra stringa) e ripetere su questa nuova istanza fino a quando rimane una sola stringa (che è una superstringa di tutte le stringhe di input )

Un limite inferiore di $2$ nel rapporto di approssimazione di questo algoritmo goloso può essere ottenuto dall'ingresso $c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$ .

$2$

Ci sono intuizioni, fatti, osservazioni, esempi che suggeriscono perché questa domanda sia così impegnativa?

Vorrei prima provare a riassumere ciò che si sa sulla congettura avida.

1. Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakis dimostrano che l'algoritmo goloso fornisce un'approssimazione di 4, e Kaplan e Shafrir mostrano che fornisce un'approssimazione di 3,5 per il problema della Superstring comune più breve.
2. Una versione dell'algoritmo avido è nota per fornire un'approssimazione 3 ( Blum, Jiang, Li, Tromp, Yannakakis ).
3. $3$$4$
4. La congettura avida vale se l'algoritmo goloso si fonde in un ordine specifico ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard ).
5. Il Greedy Algorithm fornisce un'approssimazione 2 della compressione Tarhio, Ukkonen (che è definita come la lunghezza totale delle stringhe di input meno la lunghezza della superstrting comune più corta).
6. Esiste un'implementazione estremamente efficiente dell'Algoritmo avido di Ukkonen .

Penso che uno dei motivi per cui è difficile provare la congettura avida potrebbe essere il seguente. La maggior parte degli approcci per dimostrare le garanzie di approssimazione dell'algoritmo avido analizzano il grafico di sovrapposizione (o, equivalentemente, il grafico del prefisso) dell'insieme di stringhe di input. Conosciamo solo alcune proprietà di questi grafici (come le disuguaglianze di Monge e Triple), ma queste proprietà non sono dimostrate sufficienti per dimostrare la congettura avida ( Weinard, Schnitger ; Laube, Weinard ).