Perché i rapporti di approssimazione differenziale non sono ben studiati rispetto a quelli standard nonostante i loro benefici dichiarati?

MI$\sup\frac{A}{OPT}$$MIN$$A$$A$$OPT$$\inf\frac{\Omega-A}{\Omega-OPT}$$\Omega$

• fornisce lo stesso rapporto di approssimazione per problemi come la copertura del vertice minimo e il set indipendente massimo che sono noti per essere solo realizzazioni diverse dello stesso problema;
• fornisce lo stesso rapporto per le versioni max e min dello stesso problema. Allo stesso tempo, nella teoria standard sappiamo che MIN TSP e MAX TSP hanno rapporti molto diversi.
• Misura la distanza non solo dall'ottimale ma anche dal pessimum . Quindi, nel caso della teoria dell'approssimazione standard di Vertex Cover, si dice che è il miglior limite superiore. Ma essenzialmente è il rapporto massimo tra il pessimo e l'ottimale. Pertanto, tale algoritmo è garantito per produrre la soluzione con il valore peggiore.$\Omega$$2$$2$

Il mio argomento pro è: nell'analisi asintotica non prendiamo in considerazione costanti e termini di basso ordine (qui ho ricordato la citazione di Avi Widgerson: "Abbiamo successo perché usiamo il giusto livello di astrazione") e questo è il livello di astrazione per confrontare l'utilizzo delle risorse da parte dell'algoritmo. Ma quando studiamo l'approssimazione introduciamo per qualche motivo la differenza in quei luoghi in cui possiamo evitarlo.

La mia domanda è

perché la teoria dell'approssimazione differenziale è così poco studiata. O gli argomenti in questione non sono abbastanza forti?

Esistono due interpretazioni della rivendicazione "l'algoritmo trova una approssimazione α del problema P "$A$$\alpha$$P$ :

1. Il problema è facile da risolvere abbastanza bene, poiché abbiamo un algoritmo che trova una buona approssimazione.$P$
2. L'algoritmo è buono , poiché trova una buona approssimazione.$A$

Penso che la definizione classica del fattore di approssimazione enfatizzi la prima interpretazione. Classifichiamo i problemi in base a quanto siano facili da risolvere abbastanza bene.

Il rapporto di approssimazione differenziale sembra dare un po 'più peso alla seconda interpretazione: non vogliamo "premiare" algoritmi banali (ad esempio, algoritmi che hanno appena prodotto un set vuoto o l'insieme di tutti i nodi).

Naturalmente, entrambi sono punti di vista validi, ma sono punti di vista diversi .

Possiamo anche studiare la questione da una prospettiva un po 'più pratica. Sfortunatamente, le copertine dei vertici in quanto tali non hanno molti usi diretti, ma per ragioni di argomento, consideriamo queste due applicazioni (in qualche modo inventate):

• Copertura del vertice: i nodi sono computer e i bordi sono collegamenti di comunicazione; vogliamo monitorare tutti i collegamenti di comunicazione e quindi almeno un endpoint di ogni fronte deve eseguire un processo speciale.

• Set indipendente: i nodi sono lavoratori e contrappongono i conflitti tra le loro attività; vogliamo trovare una serie di attività prive di conflitti che possano essere eseguite simultaneamente.

Ora entrambi i problemi hanno una soluzione banale: l'insieme di tutti i nodi è una copertura di vertici e l'insieme vuoto è un insieme indipendente.

La differenza fondamentale è che con il problema della copertura dei vertici, la soluzione banale fa il lavoro . Certo, stiamo usando più risorse del necessario, ma almeno abbiamo una soluzione che possiamo usare nella pratica. Tuttavia, con il problema del set indipendente, la soluzione banale è completamente inutile . Non stiamo facendo alcun progresso. Nessuno sta facendo niente. L'attività non è mai stata completata.

Analogamente, possiamo confrontare soluzioni quasi banali: vertice coperchio che consiste dei punti finali di una corrispondenza massima, e insieme indipendente I che è il complemento della C . Ancora una volta, C sicuramente svolge il lavoro nella nostra applicazione, e questa volta non stiamo sprecando risorse per più del fattore due. Tuttavia, mi potrebbe essere ancora un insieme vuoto, che è del tutto inutile.$C$$I$$C$$C$$I$

Quindi la definizione standard della garanzia di approssimazione ci dice direttamente se la soluzione è utile o meno. Un'approssimazione 2 della copertura del vertice fa il lavoro. Un set indipendente senza alcuna garanzia di approssimazione potrebbe essere completamente inutile.

In un certo senso, il rapporto di approssimazione differenziale cerca di misurare "quanto non banale" sia la soluzione, ma è importante in una di queste applicazioni? (Importa in qualsiasi applicazione?)

Non ho familiarità con la nozione di approssimazione differenziale e non ho alcuna teoria sul perché non sia ben studiata. Tuttavia, vorrei sottolineare che non è sempre desiderabile descrivere le prestazioni di un algoritmo di approssimazione con una sola misura. In questo senso, trovo difficile concordare sul fatto che una misura sia migliore di un'altra.

Ad esempio, come hai affermato, la copertura minima del vertice ammette un algoritmo di approssimazione 2 a tempo polinomiale mentre è difficile NP approssimare il massimo indipendente impostato su qualsiasi rapporto costante. Anche se capisco che questo può essere sorprendente a prima vista, ha un significato legittimo: (1) la copertura minima del vertice può essere approssimata bene quando è piccola ma (2) non può essere approssimata bene quando è grande. Quando affermiamo che è NP-difficile approssimare la copertura minima del vertice (e il set massimo indipendente) con qualsiasi rapporto di approssimazione differenziale costante positivo, stiamo effettivamente ignorando la proprietà (1). Probabilmente è abbastanza buono per alcuni scopi ignorare la proprietà (1), ma certamente non è sempre così.

Si noti che non sempre utilizziamo il rapporto di approssimazione per descrivere le prestazioni degli algoritmi di approssimazione. Ad esempio, per affermare un risultato di inapprossimabilità basato sul teorema del PCP nella sua piena generalità, abbiamo bisogno della formulazione basata su problemi di gap. Vedere mia risposta a un'altra domanda per i dettagli. In questo caso, né l'utilizzo del rapporto di approssimazione standard né l'uso del rapporto di approssimazione differenziale ci consentono di dichiarare il risultato nella piena generalità.

Come sottolinea Tsuyoshi, il problema potrebbe essere per quale tipo di argomento si desidera utilizzare il limite ottenuto. Di seguito, proverò a sviluppare due diverse motivazioni.

$\alpha = \frac{A}{OPT}$

$\alpha = \frac{\Omega - A}{\Omega - OPT}$$\alpha\cdot 100\%$

Quindi, a seconda del tipo di affermazione che il limite derivato deve riportare, dovresti scegliere l'alternativa corretta.

$[\Omega, OPT]$