P con oracolo di fattorizzazione a numeri interi

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Ho appena letto la domanda " La fattorizzazione a numeri interi è un problema NP-completo? ", Quindi ho deciso di spendere parte della mia reputazione :-) ponendo un'altra domanda con : $Q$ $P(\text{Q is trivial}) \approx 1$

Se è un oracolo che risolve la fattorizzazione a numeri interi, qual è la potenza di ? $A$ $P^A$

Penso che renda insicura la crittografia a chiave pubblica basata su RSA ... ma a parte questo, ci sono altri risultati notevoli?

cc.complexity-theory oracles factoring

— Marzio De Biasi
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@Per quella parte P(Q is trivial)=1è uno scherzo, vero?

— Pratik Deoghare

Questa domanda suggerisce una domanda correlata e (forse) più naturale: se R è un oracolo che restituisce f _ (_ M , n ) come l'autonomia massima di una macchina di Turing M in tempo polinomiale su tutti gli input di lunghezza n , qual è il potere di P ^ R?

— John Sidles,

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@Vor: Non è lo stesso che chiedere "Quali problemi può essere il polinomio-tempo Turing si riduce alla fattorizzazione a numeri interi?" O hai intenzione di chiedere qualcos'altro?

— Joshua Grochow,

Sono un novizio, quindi la mia domanda è quasi una curiosità. Tutto è partito da un semplice pensiero: fuori "nel mondo reale" vedo molti problemi NP-completi (un postino che cerca di riservare le sue forze, una famiglia che si sta muovendo e vuole montare i suoi mobili in un camion, ...: - ))). Ma non vedo "problemi di factoring" ... sebbene possano essere più semplici (tra P e NPC). ... forse la realtà odia le moltiplicazioni MrGreen MrGreen

— Marzio De Biasi

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Vedi anche Conseguenze del factoring in P?

— Jukka Suomela,

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Non ho una risposta alla tua domanda, ma so che una nozione simile è stata recentemente studiata, sotto il nome di "sicurezza basata sugli angeli".

Il primo documento che studia questo concetto è Prabhakaran & Sahai (STOC '04) . In particolare, hanno scritto in astratto:

[... diamo] all'avversario l'accesso a qualche potere computazionale super polinomiale.

Un altro documento importante che discute questa nozione è quello di Canetti, Lin e Pass (FOCS 2010) . Ho visto alcune parti della presentazione della conferenza (su Techtalks ) e, se ricordo bene, iniziano con un esempio simile a quello che hai menzionato nella domanda.

— MS Dousti
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Ovviamente qualsiasi problema decisionale che può essere ridotto al factoring può essere risolto con un oracolo del factoring. Ma poiché ci viene data la possibilità di fare più query, ho provato a pensare a un problema non banale per il quale si vorrebbe fare più query.

Il problema di calcolare la funzione totulante di Eulero sembra un tale problema. Non so come risolvere la versione decisionale di questo problema mediante una riduzione di Karp alla versione decisionale del factoring. Ma con le riduzioni di Turing, è facile ridurlo al factoring.

— Robin Kothari
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Ecco un post correlato in MO relativo alla complessità della funzione di calcolo del totient.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Piccola aggiunta: ci sono anche riduzioni dei tempi polinomiali nell'altra direzione, calcolando la funzione Totient di Eulero -> Factoring. Tuttavia, non ho verificato se le riduzioni note funzionano per la versione decisionale di questi problemi. Tuttavia, essere in grado di calcolare la funzione Totient (o anche un multiplo fisso) ti dà la possibilità di fattorizzare. Il libro di Shoup dedica un capitolo a questo.

— Juan Bermejo Vega,

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Elaborando precedente risposta di Joe: nota che . Quest'ultima è la seconda classe basso nella gerarchia "bassa" : vale a dire che . Ciò implica in particolare che Potremmo fare osservazioni simili per e $\textrm{FACTORING} \in \mathsf{NP \cap coNP}$ $\mathsf{NP^{NP \cap coNP} = NP}$

P^{FACTORING} \subseteq N P^{FACTORING} \subseteq N P .

$\mathsf{P^{\textrm{FACTORING}} \subseteq NP^{\textrm{FACTORING}}} \subseteq \mathsf{NP}.$

c o N P

$\mathsf{coNP}$

B Q P

$\mathsf{BQP}$ , Per dimostrare che almeno a livello grana grossa,

ha gli stessi limiti di complessità come il problema

stessa, cioè

P^{FACTORING}

$\mathsf P^{\textrm{FACTORING}}$

FACTORING

$\textrm{FACTORING}$

P^{FACTORING} \subseteq N P \cap c o N P \cap B Q P .

$\mathsf{P^{\textrm{FACTORING}} \subseteq NP \cap coNP \cap BQP}.$

— Niel de Beaudrap
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N P \cap c o N P

$NP \cap coNP$

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U P \cap c o U P

$\mathsf{UP} \cap \mathsf{coUP}$

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$P^A\subseteq \Delta_2^P$

— Marcus Ritt
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$\mbox{FNP}$ $P \subseteq P^A \subseteq \Delta_2^p$ $P^{NP}$ $\mbox{BQP}$ $P \subseteq P^A \subseteq P^{NP \cap BQP}$

— Joe Fitzsimons
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