Qual è il modello computazionale quantistico?

Di tanto in tanto ho sentito persone parlare di algoritmi quantistici e di stati e della capacità di considerare più possibilità contemporaneamente, ma non sono mai riuscito a convincere qualcuno a spiegare il modello computazionale dietro questo. Per essere chiari, non sto chiedendo come siano costruiti fisicamente i computer quantistici, ma piuttosto come visualizzarli da un punto di vista computazionale.

Farò eco alla raccomandazione di Martin Schwartz di Nielsen & Chaung come riferimento standard; ce ne sono anche molti altri.

La ricerca nel campo preferisce considerare famiglie uniformi di circuiti quantistici, che (ironicamente) sono dirette reti acicliche che descrivono come lo stato di uno o più registri si trasforma con il tempo, in modo simile ai classici circuiti booleani. Se desideri saperne di più, ti consiglio di imparare in termini di questo modello.

Vorrei dare alcune risposte qualitative per integrare la risposta di Martin.

1. Il calcolo quantistico in realtà non considera "molteplici possibilità contemporaneamente" --- o più precisamente, se le consideri o meno in considerazione multiple possibilità contemporaneamente è una questione di tua scelta di interpretazione della meccanica quantistica , cioè una scelta filosofica che non ha attinente all'abilità o alle previsioni del modello computazionale. ("Considerare più possibilità contemporaneamente" corrisponde alla "interpretazione di molti mondi" di QM.) Per
   
   lo meno, si può dire che un computer quantistico considera più possibilità contemporaneamente solo nella misura in cui un calcolo randomizzato usando coin- flips prende in considerazione più possibilità contemporaneamente. Questo è perché:

2. Gli stati quantistici sono generalizzazioni delle "solite" distribuzioni di probabilità --- con alcune differenze semplici ma importanti. Una distribuzione di probabilità può essere rappresentata come un vettore reale non negativo le cui voci si sommano a 1: cioè un vettore di unità nella norma ℓ ¹ . I calcoli probabilistici devono mappare i vettori di ^{1 unità} su altri vettori di questo tipo, e quindi sono descritti da mappe stocastiche. Si può descrivere il calcolo quantistico in un modo simile, ad eccezione dell'uso di ℓ ² vettori su ℂ (non limitato a reale o non negativo); le trasformazioni sono quelle mappe che conservano il ℓ ² -norm, cioè operazioni unitarie.
   
   Questa differenza non è di poco conto, ovviamente, né spiega ancora che cosa i coefficienti dei vettori di stato quantico significano . Ma può aiutare a spiegare cosa sta succedendo con gli spazi di Hilbert e i prodotti tensoriali nel calcolo quantistico: vale a dire esattamente le stesse cose che accadono nel calcolo probabilistico. Lo spazio di configurazione di un bit casuale è un vettore in ℝ ₊ ² (dove ℝ ₊ sono i reali non negativi); ma poiché i bit casuali possono essere correlati, combiniamo gli spazi di configurazione di uno o più bit casuali prendendo il prodotto tensore. Quindi lo spazio di configurazione di due bit casuali è ℝ ₊ ²  ⊗ ℝ ₊ ²  ≅ ℝ ₊ ⁴ o lo spazio completamente generale delle distribuzioni di probabilità sulle quattro distinte stringhe a due bit. Un'operazione A sul primo di questi bit casuali che non agisce sul secondo è rappresentata dall'operatore A  ⊗  I ₂  . E così via. Le stesse costruzioni si applicano ai bit quantistici; e possiamo considerare registri quantistici su insiemi di elementi distinguibili nello stesso modo in cui consideriamo le distribuzioni di probabilità su tali insiemi, usando nuovamente ℓ ² -norm vettori su ℂ.
   
   Questa descrizione in realtà descrive gli stati quantici "puri" --- quelli per i quali in linea di principio è possibile trasformare in modo preservante l'informazione in una distribuzione delta sulla stringa di bit 00 ... 0 (o più precisamente, in un stato arbitrariamente vicino a questo nella norma ℓ ² ). Oltre alla casualità quantistica (di cui non ho ancora menzionato nulla di esplicito), puoi considerare la casualità vaniglia-convessità corrispondente alle miscele probabilistiche di stati quantistici: queste sono rappresentate da operatori di densità , che possono essere rappresentati da matrici definite positive con la traccia 1 (ancora una volta generalizzando le distribuzioni di probabilità "classiche", che possono essere rappresentate dal caso speciale di matrici diagonali positive con la traccia 1).
   
   Ciò che è importante al riguardo è che, sebbene gli stati quantici siano spesso descritti come "esponenzialmente grandi", ciò è dovuto al fatto che sono generalmente descritti usando le stesse strutture matematiche delle distribuzioni di probabilità; perché le distribuzioni di probabilità non sono descritte come "esponenzialmente grandi" allo stesso modo non è chiaro (ma alla fine non è importante). La difficoltà di simulare stati quantistici deriva da questo fatto, insieme al fatto che i coefficienti complessi di queste distribuzioni ℓ ² (o i termini off-diagonali complessi degli operatori di densità, se preferite) possono annullare in un modo che le probabilità non possono , rendendo più difficile la loro stima.

3. L'entanglement è solo un'altra forma di correlazione. Per il calcolo probabilistico ad esempio di stringhe booleane, gli unici stati "puri" (che possono essere mappati da trasformazioni che conservano le informazioni in una distribuzione a picco delta su 000 ... 0) sono la "base standard" di distribuzioni a picco delta sulla diverse stringhe booleane. Pertanto, questa base di ℝ ₊ ^{2 n}si distingue. Ma non esiste una base così distinta nella meccanica quantistica, per quanto ne sappiamo --- questo è il più chiaro per i bit quantici (cercare particelle di spin 1/2, se vuoi sapere perché). Di conseguenza, ci sono più trasformazioni che preservano le informazioni che solo le permutazioni: un gruppo continuo di esse, in effetti. Ciò consente agli aspiranti computer quantistici di trasformare gli stati in modi che non sono possibili per i computer probabilistici, ottenendo possibilmente un vantaggio asintotico su di essi.
   
   Ma che dire dell'entanglement, che molte persone trovano misterioso, e che sostiene di essere la causa dell'accelerazione dei computer quantistici rispetto alla classica? "Entanglement" qui è davvero solo una forma di correlazione: proprio come due variabili casuali sono correlate se la loro distribuzione è una combinazione convessa di più di una distribuzione del prodotto (con margini diversi su ogni variabile), due "variabili quantiche" sono intrecciate se la loro la distribuzione è una combinazione lineare (con unità ℓ ²-norm) di due distribuzioni di prodotto valide; è lo stesso concetto sotto una norma diversa e svolge un ruolo simile nelle attività di comunicazione. (Ad esempio: "teletrasporto quantico" nella comunicazione quantistica corrisponde alla codifica e alla decodifica di un messaggio usando un pad una tantum in modo classico.) Questa è una forma di correlazione che è più generale di semplici bit correlati classicamente; ma l'unico modo per dimostrarlo è che le correlazioni codificate nello stato impigliato si applicano a più di una sola base privilegiata . In un certo senso, l'entanglement è una conseguenza dell'assenza di una base privilegiata.
   
   Alla gente piace invocare l'entanglement come elemento chiave del calcolo quantistico, ma questo semplicemente non sembra trattenere l'acqua: ci sono stati risultati che mostrano chel'entanglement non è quantitativamente importante per l'algoritmo di Shor per fattorizzare i numeri interi grandi, e in effetti un sistema quantistico può avere troppi entanglement per essere utile per un calcolo. In effetti, ovunque io sia a conoscenza del fatto che l'entanglement gioca un ruolo importante in un protocollo quantistico è essenzialmente uno di comunicazione (dove ci si aspetterebbe che le correlazioni giochino un ruolo importante per un protocollo classico).

A questo punto, comincio ad andare nel dominio dell'opinione personale, quindi mi fermo qui. Ma si spera che queste osservazioni possano mistificare parte di ciò che è oscuro riguardo al calcolo quantistico e come viene descritto.

Lance Fortnow ha scritto un articolo che spiega l'informatica quantistica senza usare la meccanica quantistica. Lo presenta essenzialmente nello stesso modo in cui si presenterebbe il calcolo probabilistico. Ho il sospetto che questo potrebbe essere un punto di partenza più rapido di qualcosa come Nielson e Chuang (anche se sono d'accordo che se vuoi approfondire davvero questo, Nielson e Chung dovrebbero sicuramente essere nella tua lista di letture).

L. Fortnow. Una visione teorica della complessità del calcolo quantistico. Theoretical Computer Science, 292 (3): 597-610, 2003. Numero speciale di articoli presentati al secondo seminario su Algorithms in Quantum Information Processing.

Bene, il testo standard utilizzato è il calcolo quantistico e le informazioni quantistiche di Nielsen e Chuang. Copre una vasta gamma di aspetti diversi a un livello ragionevole. Quasi tutti coloro che lavorano sul campo ne hanno una copia sul proprio scaffale. Anche il libro di Kaye, Laflamme e Mosca è buono, ma copre meno (anche se c'è un po 'più di attenzione sugli algoritmi).

Mentre è del tutto possibile spiegare l'informatica quantistica senza entrare in molta meccanica quantistica, non penso che questo sia necessariamente un buon modo per avvicinarsi all'apprendimento del calcolo quantistico. C'è molta intuizione da acquisire provando la teoria fisica, dal momento che molti dei più recenti modelli di calcolo quantistico (ovvero modelli adiabatici, topologici e basati sulla misurazione) sono più motivati ​​fisicamente rispetto alla macchina quantistica di Turing o il modello del circuito.

Detto questo, la meccanica quantistica richiesta per comprendere il calcolo quantistico è abbastanza semplice ed è coperta abbastanza bene in Nielsen e Chuang. Davvero, puoi sentirti bene leggendo il capitolo pertinente e provando gli esercizi. È il tipo di cose che puoi capire con un paio di giorni di lavoro. Il mio consiglio, tuttavia, è non andare per un testo introduttivo standard alla meccanica quantistica. L'approccio adottato per modellare atomi, molecole e materiali utilizza sistemi dimensionali infiniti e richiede molti più sforzi per ottenere il massimo. Per informazioni quantistiche è un inizio molto migliore per esaminare i sistemi di dimensioni finite. Inoltre, tradizionalmente, i problemi studiati dai fisici tendono a ruotare attorno alla ricerca di stati fondamentali e comportamenti stazionari, e questo è ciò che tratterà la maggior parte dei testi introduttivi (a partire dall'equazione delle onde di Schroedinger indipendente dal tempo). Per quanto riguarda l'informatica quantistica, tendiamo ad essere più interessati all'evoluzione temporale dei sistemi, e questo è trattato in modo molto più succinto nei testi di informatica quantistica rispetto ai testi di introduzione della meccanica quantistica generale (che sono per definizione più generali).

$BQP$ . Inoltre, il modello più generale che incorpora il rumore si basa su operazioni quantistiche o operatori Kraus. Tutti questi modelli sono noti per essere equivalenti dal punto di vista computazionale.

$|\phi\rangle$$\cal{H_2}$$\cal{H_2} \otimes ... \otimes \cal{H_2}$$|\psi\rangle$$U$$square$

Per un'introduzione più approfondita, consultare il manuale standard Nielsen e Chuang.

Innanzitutto, dovrai comprendere la fisica quantistica.

Alcuni consigli:

1. " Quantum Computing for Computer Scientists " di Noson S. Yanofsky e Mirco A. Mannucci
2. "An Introduction to Quantum Computing" di Phillip Kaye, Raymond Laflamme e Michele Mosca

E sul lato più divertente delle cose, "A Shortcut Through Time: The Path to the Quantum Computer" di George Johnson.

Puoi avere una bella introduzione nell'articolo "Un'introduzione al calcolo quantistico per i non fisici" di Eleanor Rieffel e Wolfgang Polak. È forse un po 'vecchio, tuttavia è ancora una buona, breve, introduzione autonoma all'argomento: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9809016

Un altro articolo, molto più sintetizzato è il "Computo quantistico spiegato a mia madre" di Pablo Arrighi su http://arxiv.org/abs/quant-ph/0305045

Probabilmente ne sei già a conoscenza, ma sul suo blog Scott Aaronson ha collegamenti a numerose lezioni del suo corso sull'informatica quantistica, nonché collegamenti a primer QC di altri (basta scorrere la barra laterale destra per trovarli) .

Se desideri un'introduzione lunga come un libro, ma qualcosa di più delicato di un testo come Nielsen e Chuang, consiglierei Quantum Computing for Computer Scientists di Yanofsky e Mannucci. Trascorrono un bel po 'di tempo a rivedere i prerequisiti matematici prima di immergersi nel controllo qualità stesso. Se hai una solida preparazione matematica, questo libro potrebbe sembrare troppo semplice, ma l'ho trovato abbastanza utile.

In generale, secondo il consiglio di Joe. Ma per una breve introduzione, inserivo i testi di Lance Fortnow e Stephen Fenner nella lista di lettura degli scienziati informatici che diventavano quantici.

Se sei abbastanza avanzato, potresti iniziare con l' indagine de Wolf-Drucker sui metodi quantistici per problemi classici. È un buon modo per comprendere le tecniche quantistiche prima di arrivare ai problemi quantistici .

Non penso che tu abbia bisogno di imparare la meccanica quantistica. Tuttavia dipende dall'area in cui vorresti lavorare. Ci sono aree del campo che hanno davvero bisogno di una conoscenza della meccanica quantistica, tuttavia come area su cui lavoro, teoria dei tipi e calcolo lambda, non ne ho bisogno, posso farlo solo conoscendo alcuni dei modelli computazionali per esso.

Oltre al suo testo standard con Chuang, Michael Nielsen ha una serie di lezioni video su Youtube denominate Quantum Computing for the Determined che finora offre una panoramica del modello computazionale. I video sono molto guardabili per chiunque abbia una scarsa conoscenza dell'informatica e dell'algebra lineare.