C'è qualche legame tra la norma del diamante e la distanza degli stati associati?

Nella teoria dell'informazione quantistica, la distanza tra due canali quantistici viene spesso misurata usando la norma del diamante. Esistono anche diversi modi per misurare la distanza tra due stati quantistici, come la distanza della traccia, la fedeltà, ecc. L' isomorfismo di Jamiołkowski fornisce una dualità tra canali quantistici e stati quantistici.

Questo è interessante, almeno per me, perché la norma del diamante è notoriamente difficile da calcolare e l'isomorfismo di Jamiołkowski sembrerebbe implicare una correlazione tra le misure di distanza dei canali quantistici e gli stati quantistici. Quindi, la mia domanda è questa: esiste qualche relazione nota tra la distanza nella norma del diamante e la distanza tra gli stati associati (in qualche misura)?

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— Joe Fitzsimons
fonte

Non sono sicuro di cosa intendi con "la norma del diamante è notoriamente difficile da calcolare". Se ti viene dato un canale quantico come matrice esplicita (della sua rappresentazione di Choi-Jamiołkowski, diciamo), il quadrato della sua norma del diamante può essere formulato come programma semidefinito; vedere la sezione 20.4 della nota di John Watrous . In tal senso, la norma del diamante ha un mezzo efficiente per calcolare.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: mi riferivo solo all'ottimizzazione implicita. Non intendevo difficile dal punto di vista computazionale, ma piuttosto scomodo con cui lavorare.

— Joe Fitzsimons,

Questi sono appunti di lezione molto belli, a parte.

— Suresh Venkat,

@Suresh @Tsuyoshi: Sì, sono ottime note, ma non credo che rispondano a questa particolare domanda.

— Joe Fitzsimons,

@TsuyoshiIto: per qualche motivo, l'ultima sezione delle diapositive QIP è 20.3, hai impostato un set di lezioni più completo?

— Artem Oboturov,

Risposte:

Per un canale quantico , scriviamo per indicare lo stato associato: Qui stiamo assumendo che il canale (cioè, matrici complesse) a per qualsiasi scelta di numeri interi positivi e ti piacciono. La matrice viene talvolta chiamata matrice Choi o rappresentazione Choi-Jamiolkowski di , ma è più frequente che questi termini vengano usati quando viene omessa la normalizzazione . $\Phi$ $J(\Phi)$

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$

Φ

$\Phi$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

Supponiamo ora che e siano canali quantistici. Possiamo definire la "distanza della norma del diamante" tra loro come dove indica il canale di identità da a se stesso, indica la norma di traccia e il supremum viene preso su tutte le e tutte le matrici di densità scelte da . Il supremum sembra sempre essere raggiunto per una scelta di $\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$ e qualche matrice di densità di rango 1 .

ρ

$\rho$

(Si noti che la definizione di cui sopra non funziona per le mappature arbitrarie, solo quelle della forma per le mappe completamente positive e . Per le mappature generali, il supremum viene preso su tutte le matrici con traccia traccia 1, al contrario delle matrici di sola densità.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Se non hai ulteriori presupposti sui canali, non puoi dire troppo su come queste norme si collegano a parte questi limiti grossolani: Per la seconda disuguaglianza, si sta essenzialmente accontentando della scelta specifica piuttosto che prendere l'estremo superiore su tutto

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . La prima disuguaglianza è un'offerta più dura, ma sarebbe una domanda di assegnazione ragionevole per un corso di laurea in informazione quantistica. (A questo punto dovrei ringraziarvi per la vostra domanda, perché ho intenzione di utilizzare questa domanda nell'offerta autunnale del mio corso di teoria delle informazioni quantistiche.)

Puoi ottenere entrambe le disuguaglianze per una scelta appropriata dei canali e , anche con l'ipotesi aggiuntiva che i canali siano perfettamente distinguibili (ovvero ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
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Grazie John, questo risponde perfettamente alla mia domanda e mi ha fatto risparmiare molto tempo.

— Joe Fitzsimons,

Potresti anche voler esaminare le misure di distanza per confrontare i processi quantistici reali e ideali arXiv: quant-ph / 0408063 che fornisce una panoramica delle misure di distanza per i canali quantistici e le loro relazioni.

Usano il termine distanza S per la distanza del diamante e distanza J per la distanza di tracciamento degli operatori Jamiołkowski associati ai canali.

— Antonio Valerio Miceli-Barone
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Mi piace pensare alla prima disuguaglianza che Watrous scrisse in termini di teletrasporto probabilistico dei canali. Se interpreti la norma del diamante come una misura della più piccola probabilità di errore nei canali discriminanti e e la norma di traccia come equivalente per i loro stati Jamiolkowski, puoi sempre implementare la strategia ottimale per i canali dai loro stati corrispondenti con probabilità di successo. Mettere questo rigorosamente può essere un modo per dimostrare la disuguaglianza. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Inoltre, questo modo di pensare mostra che se i canali possono essere teletrasportati in modo deterministico (come i canali di Pauli), la loro norma di diamante è uguale alla distanza di traccia di Jamiolkowski.

— Alex Monras
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