Famiglie grafiche che dispongono di algoritmi temporali polinomiali per il calcolo del numero cromatico

Post aggiornato il 31 agosto : ho aggiunto un riepilogo delle risposte correnti sotto la domanda originale. Grazie per tutte le risposte interessanti! Naturalmente, tutti possono continuare a pubblicare nuovi risultati.

Per quali famiglie di grafici esiste un algoritmo temporale polinomiale per calcolare il numero cromatico ?$\chi(G)$

Il problema è risolvibile in tempi polinomiali quando (grafici bipartiti). In generale quando , calcolare il numero cromatico è NP-difficile, ma ci sono molte famiglie di grafici in cui non è così. Ad esempio, i cicli di colorazione e i grafici perfetti possono essere eseguiti in tempi polinomiali.χ ( G ) ≥ $\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

Inoltre, per molte classi di grafici, possiamo semplicemente valutare il polinomio cromatico corrispondente; alcuni esempi in Mathworld .

Suppongo che la maggior parte di quanto sopra sia conoscenza comune. Sarei felice di sapere se ci sono altre famiglie di grafici (non banali) per le quali la colorazione minima del grafico è risolvibile in tempo polinomiale.

In particolare, sono interessato ad algoritmi esatti e deterministici, ma mi sento libero di segnalare eventuali algoritmi randomizzati o algoritmi di approssimazione.

Aggiornamento (31 agosto):

Grazie a tutti per aver inviato risposte interessanti. Ecco un breve riassunto delle risposte e dei riferimenti.

Grafici perfetti e quasi perfetti

• Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization (1988), Capitolo 9 (Insiemi stabili in grafici). Martin Grotschel, Laszlo Lovasz, Alexander Schrijver.

  Il capitolo 9 del libro mostra come risolvere il problema della colorazione attraverso il problema di copertura della cricca minimo ponderato. Poiché si basano sul metodo ellissoide, questi algoritmi potrebbero non essere molto utili nella pratica. Inoltre, il capitolo ha una bella lista di riferimento per diverse classi di grafici perfetti.

• Combinatorial Optimization (2003), Volume B, Sezione VI Alexander Schrijver.

  Questo libro ha tre capitoli dedicati ai grafici perfetti e alla loro colorabilità temporale polinomiale. Ho dato solo una rapida occhiata ma l'approccio di base sembra lo stesso del libro precedente.

• Una caratterizzazione dei grafici b-perfect (2010). Chinh T. Hoàng, Frédéric Maffray, Meriem Mechebbek

Grafici con larghezza limitata dell'albero o larghezza della cricca

• Set dominante del bordo e colorazioni su grafici con larghezza della cricca fissa (2001). Daniel Kobler, Udi Rotics

  Gli algoritmi qui richiedono un'espressione k (una formula algebrica per costruire un grafico con una larghezza della cricca limitata) come parametro. Per alcuni grafici, questa espressione può essere calcolata in tempo lineare.

• Yaroslav ha sottolineato i metodi per contare i coloranti nei grafici con larghezza dell'albero limitata. Vedi la sua risposta qui sotto.

Queste due famiglie di grafici di studio in cui è possibile aggiungere o eliminare vertici o bordi.$k$

• Complessità parametrizzata della colorazione dei vertici (2003). Leizhen Cai.

  La colorazione può essere risolta in un tempo polinomiale quando si aggiungono o si eliminano bordi (per k fissi ) nei grafici divisi .$k$$k$

• Problemi di colorazione con parametri sui grafici cordali (2006). Dániel Marx.

  $k$$k$

Grafici che non contengono particolari sottografi

• Decidere la colorabilità k dei grafici privi di P5 in tempo polinomiale (2010). Chính T. Hoàng, Marcin Kamínski, Vadim Lozin, Joe Sawada, Xiao Shu.

• Grafici privi di AT a 3 colorazioni in tempo polinomiale (2010). Juraj Stacho.

Quadrifogli da colorare

• Algorithms for Coloring Quadtrees (1999). David Eppstein, Marshall W. Bern, Brad Hutchings.

Come vedi, tutti i grafici perfetti possono essere colorati in tempi polinomiali, ma penso che la dimostrazione coinvolga algoritmi ellissoidi per la programmazione lineare (vedi il libro di Grötschel, Lovász e Schrijver) piuttosto che qualsiasi cosa diretta e combinatoria. Esistono molte diverse classi di grafici che sono sottoclassi di grafici perfetti e hanno algoritmi di colorazione più facili; i grafici cordali, per esempio, possono essere colorati avidamente usando un perfetto ordine di eliminazione.

Tutti i grafici collegati localmente (grafici in cui ogni vertice ha un vicinato connesso) possono essere tricolore in tempo polinomiale, quando esiste una colorazione: basta estendere il triangolo colorante per triangolo.

I grafici di massimo grado tre possono essere colorati in tempo polinomiale: è facile verificare se sono bipartiti e, in caso contrario, richiedono solo tre colori o hanno K4 come componente connesso e richiedono quattro colori (teorema di Brooks).

I grafici planari senza triangoli possono essere colorati in tempo polinomiale, per lo stesso motivo: sono al massimo 3 cromatici (teorema di Grötzsch).

i grafici b-perfect consentono 5 cicli indotti (a differenza dei grafici perfetti) e hanno mostrato di avere un algoritmo a tempo polinomiale per la colorazione di Hoàng, Maffray e Mechebbek, Una caratterizzazione dei grafici b-perfect , arXiv: 1004.5306 , 2010.

(È un peccato che il meraviglioso compendio di classi di grafici presso l' ISGCI copra solo la larghezza della cricca, l'insieme indipendente e il dominio. Non include informazioni sulla colorazione.)

Anche per i grafici con larghezza della cricca limitata (che è più generale della larghezza dell'albero): Kobler e Rotics .

$n^{f(k)}$ fattore nel tempo di esecuzione sembra inevitabile).

Inoltre, la larghezza della cricca è difficile da calcolare, ma esiste un algoritmo di approssimazione di Oum e Seymour, "larghezza della cricca vicina e larghezza del ramo" (con approssimazione esponenziale).

$k$

Qualsiasi famiglia di grafici con larghezza dell'albero limitata avrà un algoritmo temporale polinomiale per calcolare il numero cromatico. Gamarnik riduce il problema del conteggio dei coloranti a quello dei margini di calcolo di alcuni campi casuali di Markov definiti sullo stesso grafico. Il risultato segue perché i margini dei MRF sui grafici con larghezza dell'albero limitata possono essere calcolati in tempo polinomiale con l' albero di giunzione algoritmo .

Aggiornamento 8/26 : ecco un esempio di riduzione del numero "# of colorings" <-> marginali. Richiede di iniziare con una colorazione appropriata, che può essere trovata in tempo polinomiale per i grafici con larghezza dell'albero limitata con la versione max-plus dell'algoritmo dell'albero di giunzione. Ora a pensarci ... non hai davvero bisogno di # di coloranti per il numero cromatico, solo una sola colorazione corretta

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$ .

Ci sono anche risultati di Daniel Marx riguardanti la complessità del problema dei numeri cromatici sui grafici che possono essere resi cordali al massimo da k delezioni di vertici; per ogni k risolto questo problema è polinomiale ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 ).

Algoritmi per colorare quadrifogli .
M. Bern, D. Eppstein e B. Hutchings.
http: // arXiv: cs.CG/9907030 .
Algorithmica 32 (1): 87-94, 2002.

Consideriamo diverse varianti del problema della colorazione dei quadrati di un quadrifoglio in modo che non vi siano due quadrati adiacenti uguali. Forniamo semplici algoritmi di tempo lineari per quadrifici bilanciati a 3 colori con adiacenza dei bordi, quadrifici sbilanciati a 4 colori con adiacenza dei bordi e quadrifici bilanciati o sbilanciati a 6 colori con adiacenti agli angoli. Il numero di colori utilizzato dai primi due algoritmi è ottimale; per il terzo algoritmo, a volte potrebbero essere necessari 5 colori.