Esiste un teorema della gerarchia temporale per PH?

È vero che ci sono problemi nella gerarchia polinomiale risolvibili nel tempo (da una macchina di Turing alternata in un certo livello della gerarchia polinomiale) che non sono risolvibili in in qualche livello della gerarchia polinomiale? In altre parole: esiste un teorema della gerarchia temporale per la gerarchia polinomiale come esiste per P e NP? In tal caso, un riferimento sarebbe fantastico. $O(n^k)$ $O(n^{k-1})$

La difficoltà che ho incontrato è che la macchina di simulazione, durante la simulazione di macchine da tutti i livelli della gerarchia, non si trova in alcun livello distinto della gerarchia. Il che porta a una domanda correlata: qual è la classe più piccola a cui appartiene una macchina di simulazione? Ha senso definire una classe con alternanze (o / )? $O(n)$ $O(\log n)$ $O(\log \log n)$

— Joseph
fonte

L'uso di un numero lineare di alternanze ti dà PSPACE, poiché la formula booleana quantificata è completa di PSPACE.

— Derrick Stolee,

Risposte:

Sì. Ad esempio, le solite prove del teorema della gerarchia temporale (simulando direttamente macchine arbitrarie) possono essere usate per mostrare che per ogni , non è un sottoinsieme di . La ragione per passare da a è che, in questo argomento di diagonalizzazione, dobbiamo fare "l'opposto" della macchina che stiamo simulando, quindi dobbiamo correre in modalità universale quando la macchina simulante è in modalità esistenziale , e viceversa. $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Pi_c TIME[n^{k-1}]$ $\Sigma$ $\Pi$

Puoi anche ottenere un risultato come questo senza passare da a : per ogni , non è un sottoinsieme di . Questo può essere fatto usando la prova della gerarchia temporale dovuta a Zak (riferimento: " Una gerarchia temporale della macchina di Turing ", Teoretical Computer Science 26 (3): 327--333, 1983). Per un riferimento esplicito a questa versione del teorema della gerarchia temporale, vedi " A Survey of Lower Bound for Satisfiability and Related Problems " di Dieter van Melkebeek (disponibile sulla sua home page). $\Sigma$ $\Pi$ $c \geq 1$ $\Sigma_c TIME[n^k]$ $\Sigma_c TIME[n^{k-1}]$

— Ryan Williams
fonte

Questa risposta dimostra chiaramente l'esistenza di un teorema della gerarchia temporale per ogni livello distinto della gerarchia. Ciò non indica immediatamente la presenza di un tale teorema per PH nel suo insieme.

— Joseph,

La tua domanda più forte sarà difficile da risolvere affermativamente; implicherebbe . Supponiamo che ci sia una e una lingua in

che non sia in

per ogni

. Poi

. Questo perché ogni lingua

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

c

$c$

L

$L$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

Σ_{d} T I M E [n^{k - 1}]

$\Sigma_d TIME[n^{k-1}]$

d

$d$

L O G S P A C E \neq N P

$LOGSPACE \neq NP$

è in

per alcuni

seconda di

(da un argomento di tipo teorema di Savitch). Quindi se

allora in realtà ogni lingua in

è in

L \in L O G S P A C E

$L \in LOGSPACE$

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

L

$L$

L O G S P A C E = N P

$LOGSPACE = NP$

Σ_{c} T I M E [n^{k}]

$\Sigma_c TIME[n^k]$

peralcuni

, contraddittorio con quello che vuoi mostrare.

Σ_{d} T I M E [n^{2}]

$\Sigma_d TIME[n^2]$

d

$d$

— Ryan Williams,

La risposta alla domanda rivista (revisione 4 della domanda) è no. Se un problema di decisione L è risolvibile nel tempo O ( n ^k ) da una macchina ∑ _i P, allora L può essere risolto in tempo lineare da una macchina di Turing con l'oracolo per L , che è una macchina ∑ _{i +1} P. Pertanto, ∑ _i TIME [O ( n ^k )] ⊆ Σ _{i +1} TIME [O ( n )].

— Tsuyoshi Ito
fonte

No, non è così che funziona la definizione di

. Se

per tutti

, allora

. Se

Σ_{j} T I M E [t (n)]

$\Sigma_j TIME[t(n)]$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

N P \neq c o N P

$NP \neq coNP$

per ogni

, lascia che

sia la corsa tempo di alcuni algoritmi non deterministici per la tautologia. Quindi abbiamo

N P = c o N P

$NP = coNP$

Σ_{j} T I M E [O (n^{k})] \subseteq Σ_{j + 1} T I M E [O (n)]

$\Sigma_j TIME[O(n^k)] \subseteq \Sigma_{j+1} TIME[O(n)]$

j, k

$j,k$

O (n^{c})

$O(n^c)$

, in cui la prima inclusione è assunta e la seconda inclusione segue da un argomento di simulazione standard. Questa è una contraddizione.

N T I M E [O (n^{c^{2}})] \subseteq Σ_{2} T I M E [O (n)] \subseteq N T I M E [O (n^{c})]

$NTIME[O(n^{c^2})] \subseteq \Sigma_{2} TIME[O(n)] \subseteq NTIME[O(n^{c})]$

— Ryan Williams,

@Ryan: La definizione che ho usato è: L∈ΣiTIME [t (n)] iff esiste una lingua O∈Σ (i − 1) P e una macchina di Turing non deterministica t (n) -time con l'oracolo per O che riconosce L. Pensavo che questa fosse la definizione standard, ma non ho alcun riferimento a sostegno del mio reclamo. Qual è la definizione che stai usando?

— Tsuyoshi Ito,

La definizione è:

iff esiste un predicato temporale lineare

tale che

L \in Σ_{i} T I M E [t (n)]

$L \in \Sigma_i TIME[t(n)]$

R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$R(x,y_1,\ldots,y_i)$

è vero.

x \in L ⟺ (\exists y_{1} : | y_{1} | \leq t (| x |)) \dots (\forall y_{i} : | y_{i} | \leq t (| x |)) R (x, y_{1}, \dots, y_{i})

$x \in L \iff (\exists y_1 : |y_1|\leq t(|x|))\cdots (\forall y_i : |y_i| \leq t(|x|))R(x,y_1,\ldots,y_i)$

— Ryan Williams,

@Ryan: Ok, non conoscevo quella definizione. Se questo è ciò che l'interrogante voleva chiedere, la mia risposta non si applica.

— Tsuyoshi Ito,