Durezza dei problemi di FPT

13

Vertex Cover può essere facilmente ridotta a Independent Set e viceversa.

Tuttavia, nel contesto della complessità parametrizzata, il set indipendente è più difficile di Vertex Cover. Esiste un kernel con vertici da $2k$ per Vertex Cover, ma Independent Set è W 1 difficile.

Come cambia la natura di Independent Set nel contesto di FPT e perché?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
fonte

9

Idea principale della risposta: se riduciamo un'istanza di Independent Set parametrizzato a Vertex Cover parametrizzata, il parametro con cui finiamo dipende dalla dimensione del grafico e non dipende solo dal parametro di input. Ora per qualche dettaglio in più.

Come sapete, un problema con parametri è in FPT (uniforme) se esiste un algoritmo che decide se un input è contenuto in nel tempo per alcune funzioni . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Poiché puoi decidere se un grafico ha una copertura del vertice di dimensione selezionando un bordo e ramificando su quale dei suoi due punti finali inserire la copertina del vertice, questa ramificazione va solo profondità (altrimenti hai inserito più di vertici nella copertina), e scorre facilmente nel tempo ; pertanto -Vertex Cover è in FPT. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Supponiamo ora di voler provare a utilizzare questo algoritmo per mostrare che il set indipendente parametrizzato è in FPT; supponiamo che ci venga dato un grafico su vertici e vogliamo decidere se ha un insieme indipendente di dimensioni . Ciò equivale a chiedere se ha una copertura del vertice di dimensioni . Quindi usiamo il nostro algoritmo sopra per calcolare la risposta in tempo. Per il nostro algoritmo FPT, la funzione esponenziale nel tempo di esecuzione può dipendere dal parametro, che è , ma NON può dipendere dalla dimensione dell'input, che è $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; ma l'approccio che abbiamo disegnato usa il tempo esponenziale in e non è quindi un parametro FPT rispetto al parametro . Ecco perché il fatto che Vertex Cover sia in FPT non implica che Independent Set sia in FPT. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
fonte

Grazie per tutte le risposte. In un contesto di complessità parametrica, capisco l'idea quando provo a studiare la durezza dell'insieme indipendente, ragionando su Vertex Cover. Tuttavia, non ho trovato alcuna spiegazione che consideri Independent Set, indipendentemente dal contesto della copertina di Vertex? C'è qualcosa nella struttura (o nella natura intrinseca) di trovare un set indipendente che lo rende più difficile?

— Nikhil,

Bart, perché non esiste un parametro

per il quale la riduzione funziona come desiderato?

k

$k$

— Raffaello,

@Raphael: Potresti chiarire la tua domanda? Gli unici parametri "consentiti" dalla domanda del PO sono le rispettive dimensioni della soluzione. Se consentiamo parametri arbitrari, ce ne sono molti per i quali la riduzione funziona come desiderato (Se ho capito bene questa frase): Ad esempio, se manteniamo il parametro come "dimensione della copertura del vertice di dimensione minima" per entrambi i problemi, allora entrambi sono FPT; MinVC secondo l'argomento di Bart e MaxIndSet con lo stesso argomento e usando la riduzione del PO. È solo quando insistiamo che il parametro di MaxIndSet sia la sua dimensione di soluzione che il problema diventa W [1] -hard.

— gphilip,

Hai sottolineato perfettamente la mia domanda! In tal senso, la domanda del PO è mal posta: ha senso solo parlare della complessità parametrizzata per coppie di problemi e parametri (non parametrizzati). Ho riempito mentalmente il vuoto con un "forall", nel senso che ho letto anche la risposta di Bart in senso "per tutti

", e ho pensato che fosse sbagliato / incompleto. Quindi la mia domanda. Altre risposte hanno lo stesso problema, comunque. Apparentemente tutti tranne me riempiono il vuoto con la scelta canonica.

k

$k$

— Raffaello,

6

Non direi che la "natura" del problema cambia, qualunque cosa si supponga significhi. Tutto ciò che cambia è il parametro, cioè il modo in cui si misura la difficoltà del problema.

I grafici che hanno una copertura del vertice di dimensioni al massimo sono così strutturati che è possibile ridurli in modo efficiente in termini di dimensioni: possiamo trovare avidamente una corrispondenza massima delle dimensioni al massimo e il resto del grafico è almeno un insieme indipendente di dimensioni . Utilizzando regole di riduzione come la riduzione della corona, il numero di vertici può essere ridotto al massimo a . $k$ $k$ $n-2k$ $2k$

D'altra parte, i grafici che hanno una copertura dei vertici di dimensioni al massimo (o equivalentemente, i massimi indipendenti hanno dimensioni almeno ) non sembrano avere una struttura così semplice. Questo può essere reso preciso, come fai notare: la loro struttura ci consente di codificare qualsiasi problema . $n-k$ $k$ $W[1]$

— Holger
fonte

4

Quanto segue può dare qualche intuizione per la differenza. Un sottoinsieme di vertici S è una copertura del vertice di G = (V, E) se e solo se VS è un insieme indipendente, quindi se MVC ha le dimensioni di una copertura minima del vertice, MIS = | V | -MVC è la dimensione di il massimo set indipendente. Un algoritmo FPT parametrizzato da X consente il runtime esponenziale in funzione di X. Un grafico casuale su n vertici con probabilità di bordo una metà ha con alta probabilità MIS di dimensione circa 2logn e MVC di dimensione circa n-2logn. Pertanto, almeno per questi grafici, un algoritmo FPT parametrizzato da MVC consente semplicemente molto più tempo di uno parametrizzato da MIS.

4

Sebbene io sia d'accordo con quello che altri hanno detto, un altro modo che trovo utile quando penso a queste cose è di rifondere il problema come un problema di riconoscimento, cioè "Il grafico di input appartiene alla famiglia di grafici che hanno una copertura dei vertici al massimo k?" / "Il grafico di input appartiene alla famiglia di grafici che hanno impostato in modo indipendente almeno k?".

Intuitivamente, una famiglia di grafici più ristretta dovrebbe essere più facile da riconoscere rispetto a una più ricca e generica. La famiglia di grafici della copertura dei vertici al massimo k è molto limitata, in effetti ciascuno di questi grafici può essere descritto usando solo bit, che è molto inferiore ai normali bit necessari , supponendo che k sia significativamente più piccolo di n. La famiglia di grafici di set indipendenti almeno k invece è molto ricca: ogni grafico può essere modificato per appartenerlo rimuovendo al massimo bordi. $O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Quindi per me questa è una spiegazione intuitiva del motivo per cui mi aspetto che sia più facile riconoscere una piccola copertina di vertice rispetto a un piccolo set indipendente. Ovviamente dovrebbe essere ovvio che i pensieri di cui sopra non sono affatto vicini a un argomento formale e immagino che alla fine della giornata la prova più convincente che sia effettivamente più difficile riconoscere un insieme indipendente di dimensione k sia esattamente la durezza W di indipendente impostato!

— Michael Lampis
fonte

In che modo la rimozione di

bordi è sufficiente per dare a un grafico un insieme indipendente di

vertici? Penserei che avresti bisogno

k^{2}

$k^2$

k

$k$

rimozione dei bordi se si desidera ottenere un set indipendente di dimensioni

in un grafico completo su

vertici.

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

— Bart Jansen,

@Bart: per un set indipendente di

vertici, devi solo assicurarti che non ci sia bordo tra questi vertici e ci siano al massimo

bordi in un (semplice) sottografo dell'ordine

.

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Mathieu Chapelle,

3

Questa è una risposta molto indiretta e potrebbe non rispondere del tutto alle tue preoccupazioni. Ma FPT e la gerarchia W sono strettamente legati alla approssimabilità (i problemi FPT hanno spesso PTAS ecc.). In quel contesto, nota che per ogni grafico, VC = n - MIS, e quindi un'approssimazione per VC non fornisce un'approssimazione per MIS. Ecco perché sono necessarie riduzioni a L per approssimazioni. Ho il sospetto che esista una nozione equivalente di "riduzione del mantenimento del kernel" anche per la complessità parametrizzata.

— Suresh Venkat
fonte

Esiste una nozione di "riduzione che preserva il kernel" in FPT?

— Nikhil,

Non lo so: da qui le virgolette :). Sto aspettando che gli esperti di complessità parametrizzata intervengano.

— Suresh Venkat,

2

L'hai appena chiamato! ;)

— Raffaello,

4

C'è una tale nozione: una trasformazione polinomiale di tempo e parametri. Problema parametrizzato P tempo-polinomio e parametro si trasforma in Q (leggi:

) se esiste un algoritmo di tempo polinomiale che ha dato un'istanza

del problema

, restituisce in tempo polinomiale un'istanza equivalente

di

tale che

. L'uso per la kernelizzazione è il seguente: se

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

,

ha un kernel polinomiale e le versioni classiche di

e

sono NP-complete, quindi

ha anche un kernel poligonale. (dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57)

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$

— Bart Jansen,

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$