Algoritmi olografici - Equivalenza delle basi

Stavo esaminando il seminario di Les Valiant e mi sono trovata in difficoltà con la proposizione 4.3 a pagina 10 del documento.

Non riesco a capire perché se esiste un generatore con determinati valori per con una base , allora esiste un generatore con gli stessi valori per qualsiasi base ( ) o ( ) per ogni . $valG$ $\{(a_1,b_1) \ldots (a_r,b_r)\}$ $valG$ $\{(xa_1,yb_1) \ldots (xa_r,yb_r)\}$ $1^{st} kind$ $\{(xb_1,ya_1) \ldots (xb_r,ya_r) \}$ $2^{nd} kind$ $x,y \in F$

Valiant sottolinea il motivo nel paragrafo precedente: il tipo di trasformazione può essere ottenuto aggiungendo a ciascun nodo di input o output un bordo di peso . La tipo di trasformazione, Valiant dice, può essere realizzato aggiungendo al ingresso o uscita nodi catene di lunghezza ponderate con ed , rispettivamente. $1^{st}$ $1$ $2^{nd}$ $2$ $x$ $y$

Non sono stato davvero in grado di capire queste affermazioni. Forse sono già chiari, ma ancora non riesco davvero a capire perché il costrutto di cui sopra aiuta a raggiungere qualsiasi valore realizzabile con una base con la nuova base che è uno dei tipi di cui sopra. $valG$

Per favore, aiutami a illuminarmeli. In un'altra nota, ci sono alcuni sondaggi senza tensore per algoritmi ologafici disponibili online. Molti di loro usano tensori che, purtroppo, mi spaventano :-(

Best-Akash

ds.algorithms counting-complexity survey

— Akash Kumar
fonte

I tensori (in questo senso) sono solo matrici di numeri, quindi non credo che troverai sondaggi gratuiti, a meno che non siano completamente privi di calcoli.

L'operazione " " formalizza entrambe le operazioni di modifica della base e di collegamento dei gadget a ciascun nodo di output (in effetti mi piace pensare a un cambio di base come una sorta di operazione gadget). Sia un generatore di fiammiferi con firma standard . Questo è un array di numeri. La firma in una nuova base è data da $T^{\otimes k}$ $\Gamma$ $M_{i_1i_2\cdots i_k}=u(\Gamma)$ $2^k$

$(T^{\otimes k}M)_{i_1i_2\cdots i_k}:=\sum_{i_1',\cdots,i_k'} T_{i_1i_1'} \cdots T_{i_ki_k'} M_{i_1'i_2'\cdots i_k'}$

dove è una matrice due per due che descrive la nuova base. $T$

Sia il matchgate formato aggiungendo nuovi vertici a , assumendoli come nuovi output e collegandoli ai vecchi output con un bordo di peso . Quindi la nuova firma è dove è la matrice . Se quindi si esegue la modifica della base si ottiene la firma . $\Gamma'$ $k$ $\Gamma$ $x$ $C^{\otimes k}M$ $C_{ij}$ $\begin{pmatrix}0&x\\1&0\end{pmatrix}$ $TC^{-1}$ $T^{\otimes k}M$

— Colin McQuillan
fonte

Ci scusiamo per la risposta tardiva, oggi sono stato occupato. Temo che, a causa della mia limitata comprensione dei tensori, non riesco ancora a capirti. Pensavo che la firma di un generatore matchgate nella nuova base, fosse derivata dalla firma nella vecchia base dalla soluzione a . Pensavo che Valiant menzionato nel suo esempio che intendeva semplicemente esprimere il vettore perfMatch come la somma dei coefficienti rispetto alla nuova base. Non posso esserne sicuro, per la mia ovvia mancanza di background con i tensori.

S

$S$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

S = S_{0}

$S = S_0$

T^{\otimes k} \times S = u (Γ)

$T^{\otimes k} \times S = u(\Gamma)$

v a l G (Γ, x)

$valG(\Gamma, x)$

— Akash Kumar,

[continua] Inoltre, io non sono in grado di seguire il vostro esempio con . Potresti per favore elaborare un po 'di più? Grazie - Akash

C^{\otimes k} M

$C^{\otimes k}M$

— Akash Kumar il

Sono felice di provare a elaborare, ma potrei semplicemente aggiungere una notazione confusa. Potresti rispondere prima a questa domanda: se aggiungi bordi ad ogni nodo di output, quale effetto pensi che ciò avrebbe sulla firma? Inoltre, che può essere espresso come - Non riesco a ricordare a mano a mano quali dovrebbero essere i coefficienti effettivi di in termini di di Valiant .

S_{0}

$S_0$

(T^{- 1})^{\otimes k} S

$(T^{-1})^{\otimes k} S$

T

$T$

n_{0}, n_{1}, p_{0}, p_{1}

$n_0,n_1,p_0,p_1$

— Colin McQuillan,

Proverò a esprimere la mia confusione con un esempio. Considera un generatore che è un percorso di lunghezza 3 in cui tutti e 3 i nodi sono nodi o / p. La firma di questo generatore è . E la firma del gadget modificato con 3 nuovi nodi collegati ciascuno a un nodo O / P nella base è . Potresti continuare con questo esempio? Vorrei vedere come fa agisce su di te . Grazie per la tua pazienza

(0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

$(0,1,1,0,1,0,0,1)$

x (1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 0)

$x(1,1,1,1\ 1,1,1,0)$

C^{\otimes 3} w h e r e

$C^{\otimes 3} where$

C = (0, 1)^{t} (x = 1, 0)^{t}

$C = (0,\ 1)^t (x=1,\ 0)^t$

u (Γ)

$u(\Gamma)$

— Akash Kumar,

Lascia che sia un percorso dell'ordine 3. Chiama i vertici x, y, z dove y è il vertice centrale. ha una corrispondenza perfetta se Z è {x}, {z} o {x, y, z}. Quindi . Con i bordi attaccati la firma è . Prova ad esempio a calcolare usando la formula sopra.

P_{3}

$P_3$

P_{3} ∖ Z

$P_3 \setminus Z$

u (P_{3}) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1)

$u(P_3)=(0,1,0,0,1,0,0,1)$

(1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

$(1,0,0,1,0,0,1,0)$

(C^{\otimes 3} u (P_{3}))_{1, 2, 2} = 1

$(C^{\otimes 3} u(P_3))_{1,2,2}=1$

— Colin McQuillan,