Esistono CFG di dimensioni polinomiali che descrivono questo linguaggio finito?


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Esistono permutazioni e dimensioni polinomiali (in | w | = n ) grammatica libera dal contesto che descrive il linguaggio finito { w π 1 ( w ) π 2 ( w ) } sull'alfabeto { 0 , 1 } ?π1,π2|w|=n{wπ1(w)π2(w)}{0,1}

AGGIORNAMENTO: Per una permutazione è possibile. π è l'inversione o la modifica relativamente minore dell'inversione.ππ


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Anche chiesto su math.stackexchange. Ciò che intende è: esiste una sequenza di permutazioni tale che le lingue L n = { w π 1 ( w ) π 2 ( w ) : w { 0 , 1 } n } hanno CFG di dimensioni polinomiali? π1n,π2nSnLn={wπ1(w)π2(w):w{0,1}n}
Yuval Filmus,


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Sappiamo se esiste un CFG per ? L=nLn
Kaveh,

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@Kaveh: la risposta è no, per qualsiasi sequenza di permanenti. Se la tua lingua era senza contesto, ha una lunghezza di pompaggio p . Applicare il lemma di pompaggio per i CFG alla stringa in L associata a w = 0 p 1 p . Il lemma del pompaggio per i CFG diciamo anche che, se l'OQ ha una risposta positiva, allora il CFG per L n deve usare almeno Ω ( n / log n ) variabili, poiché abbiamo bisogno di 3 n per essere inferiore alla lunghezza di pompaggio , in modo che il nostro CFG per L n non accetti stringhe di lunghezza > 3Lpw=0p1pLnΩ(n/logn)3nLn . Non vedo ancora come usarlo per escludere una risposta positiva all'OQ, ma potrebbe essere possibile. >3n
Joshua Grochow,

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@Kaveh: (Inoltre, se la sequenza di permanenti può essere scelta in modo arbitrario, la tua lingua non deve nemmeno essere calcolabile ... Il QO sembra essere intrinsecamente non uniforme.)L
Joshua Grochow,

Risposte:


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Chomsky forma normale

Un CFG è in CNF (Chomsky forma normale) se gli unici produzioni sono della forma e A B C ; una grammatica può essere portata al CNF con solo ingrandimento quadratico.AaABC

Per una grammatica in CNF, abbiamo la bella parola secondaria Lemma: Se G genera una parola w , quindi per ogni w , esiste una parola secondaria x di w di lunghezza / 2 | x | < che è generato da un non-terminale G . Dimostrazione: discendi l'albero della sintassi (binaria), andando sempre al figlio che genera la subword più lunga. Se si è iniziato con un sottoparola di dimensioni almeno , non possono essere andati sotto / 2 .GGwwxw/2|x|<G/2

Soluzione

Senza perdita di generalità, possiamo supporre che una grammatica per (una tale lingua con specifico π 1 , π 2S n ) sia in forma normale di Chomsky. La lingua L n è composta dalle parole w ( x ) = x π 1 ( x ) π 2 ( x ) per tutte x { 0 , 1 } n .Lnπ1,π2SnLnw(x)=xπ1(x)π2(x)x{0,1}n

w(x)s(x)

n2|s(x)|<n
A(x)p(x)

p(x)=p(y)A(x)=A(y)|s(x)|<ns(x)xπ2(x)w(x)xw(x)xαs(x)βA(x)s(x)s(x)=s(y)

s(y)π1(y)π2(y)n/4n/4y23n/4y{0,1}np(x)=p(y)A(x)=A(y)3np(y)

2n/43n

π1,π2S{0,1}nnn/4πi(y)23n/4y

Più esempi

N0N1

Gradirei un riferimento per questo metodo di prova.


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Yuval, potresti per favore copiare anche qui la soluzione.
Kaveh,

Grazie Yuval. Se il tuo metodo è corretto e nuovo, sarei felice di leggere un articolo che indaga su casi più generali con risultati positivi o negativi su CFG polisize per linguaggi finiti o infiniti.
jerr18,

3
C'è questo commento: cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf .
Yuval Filmus,

N1Σ|Σ|

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Vedi la domanda correlata cstheory.stackexchange.com/q/5014 in cui Yuval ha pubblicato una risposta con un riferimento pubblicato.
András Salamon,
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