Esistono CFG di dimensioni polinomiali che descrivono questo linguaggio finito?

Esistono permutazioni e dimensioni polinomiali (in ) grammatica libera dal contesto che descrive il linguaggio finito sull'alfabeto ? $\pi_1,\pi_2$ $|w|=n$ $\{w \pi_1(w) \pi_2(w)\}$ $\{0,1\}$

AGGIORNAMENTO: Per una permutazione è possibile. è l'inversione o la modifica relativamente minore dell'inversione. $\pi$ $\pi$

fl.formal-languages grammars context-free

— jerr18
fonte

Anche chiesto su math.stackexchange. Ciò che intende è: esiste una sequenza di permutazioni

tale che le lingue

hanno CFG di dimensioni polinomiali?

π_{1}^{n}, π_{2}^{n} \in S_{n}

$\pi_1^n,\pi_2^n \in S_n$

L_{n} = {w π_{1} (w) π_{2} (w) : w \in {0, 1}^{n}}

$L_n = \{w \pi_1(w) \pi_2(w) : w\in \{0,1\}^n\}$

— Yuval Filmus,

math.stackexchange.com/questions/22361/…

— Tsuyoshi Ito

Sappiamo se esiste un CFG per

L = ⋃_{n} L_{n}

$L = \bigcup_n L_n$

— Kaveh,

@Kaveh: la risposta è no, per qualsiasi sequenza di permanenti. Se la tua lingua

era senza contesto, ha una lunghezza di pompaggio

. Applicare il lemma di pompaggio per i CFG alla stringa in L associata a

. Il lemma del pompaggio per i CFG diciamo anche che, se l'OQ ha una risposta positiva, allora il CFG per

deve usare almeno

variabili, poiché abbiamo bisogno di

per essere inferiore alla lunghezza di pompaggio , in modo che il nostro CFG per

non accetti stringhe di lunghezza

L

$L$

p

$p$

w = 0^{p} 1^{p}

$w = 0^p 1^p$

L_{n}

$L_n$

Ω (n / \log n)

$\Omega(n / \log n)$

3 n

$3n$

L_{n}

$L_n$

. Non vedo ancora come usarlo per escludere una risposta positiva all'OQ, ma potrebbe essere possibile.

> 3 n

$> 3n$

— Joshua Grochow,

@Kaveh: (Inoltre, se la sequenza di permanenti può essere scelta in modo arbitrario, la tua lingua

non deve nemmeno essere calcolabile ... Il QO sembra essere intrinsecamente non uniforme.)

L

$L$

— Joshua Grochow,

Chomsky forma normale

Un CFG è in CNF (Chomsky forma normale) se gli unici produzioni sono della forma e ; una grammatica può essere portata al CNF con solo ingrandimento quadratico. $A \rightarrow a$ $A \rightarrow BC$

Per una grammatica in CNF, abbiamo la bella parola secondaria Lemma: Se genera una parola , quindi per ogni , esiste una parola secondaria di di lunghezza che è generato da un non-terminale . Dimostrazione: discendi l'albero della sintassi (binaria), andando sempre al figlio che genera la subword più lunga. Se si è iniziato con un sottoparola di dimensioni almeno , non possono essere andati sotto . $G$ $G$ $w$ $\ell \leq w$ $x$ $w$ $\ell/2 \leq |x| < \ell$ $G$ $\ell$ $\ell/2$

Soluzione

Senza perdita di generalità, possiamo supporre che una grammatica per (una tale lingua con specifico ) sia in forma normale di Chomsky. La lingua composta dalle parole per tutte . $L_n$ $\pi_1,\pi_2 \in S_n$ $L_n$ $w(x) = x\pi_1(x)\pi_2(x)$ $x \in \{0,1\}^n$

$w(x)$ $s(x)$

\frac{n}{2} \leq | s (x) | < n

$\frac{n}{2} \leq |s(x)| < n$

A (x)

$A(x)$

p (x)

$p(x)$

$p(x) = p(y)$ $A(x) = A(y)$ $|s(x)|<n$ $s(x)$ $x$ $\pi_2(x)$ $w(x)$ $x$ $w(x)$ $x \alpha s(x) \beta$ $A(x)$ $s(x)$ $s(x) = s(y)$

$s(y)$ $\pi_1(y)$ $\pi_2(y)$ $n/4$ $n/4$ $y$ $2^{3n/4}$ $y \in \{0,1\}^n$ $p(x) = p(y)$ $A(x) = A(y)$ $3n$ $p(y)$

\frac{2^{n / 4}}{3 n}

$\frac{2^{n/4}}{3n}$

$\pi_1,\pi_2 \in S_{\{0,1\}^n}$ $n$ $n/4$ $\pi_i(y)$ $2^{3n/4}$ $y$

Più esempi

$\mathbb{N}$ $0$ $\mathbb{N}_{\geq 1}$

Gradirei un riferimento per questo metodo di prova.

— Yuval Filmus
fonte

Yuval, potresti per favore copiare anche qui la soluzione.

— Kaveh,

Grazie Yuval. Se il tuo metodo è corretto e nuovo, sarei felice di leggere un articolo che indaga su casi più generali con risultati positivi o negativi su CFG polisize per linguaggi finiti o infiniti.

— jerr18,

C'è questo commento: cs.toronto.edu/~yuvalf/cfg.pdf .

— Yuval Filmus,

N_{\geq 1}

$N_{\geq 1}$

Σ^{| Σ |}

$\Sigma^{|\Sigma|}$

Vedi la domanda correlata cstheory.stackexchange.com/q/5014 in cui Yuval ha pubblicato una risposta con un riferimento pubblicato.

— András Salamon,