L'origine del concetto di larghezza degli alberi

La mia domanda oggi è (come al solito) un po 'sciocca; ma ti chiedo gentilmente di prenderlo in considerazione.

Volevo conoscere la genesi e / o la motivazione alla base del concetto di larghezza degli alberi. Capisco sicuramente che viene utilizzato negli algoritmi FPT, ma non credo che questo sia stato il motivo per cui questa nozione è stata definita.

Ho scritto le note dello scriba su questo argomento nella classe del Prof. Robin Thomas . Penso di comprendere alcune delle applicazioni di questo concetto (in quanto trasferisce le proprietà di separazione dell'albero al grafico decomposto), ma per qualche ragione non sono davvero convinto che il motivo per cui è stato sviluppato questo concetto sia stato quello di misurare la vicinanza di un grafico ad un albero.

Cercherò di rendermi più chiaro (non sono sicuro di poterlo fare, per favore fatemi sapere se la domanda non è chiara). Vorrei sapere se esistevano nozioni simili altrove in qualche altro ramo della matematica da cui questa nozione era presumibilmente "presa in prestito". La mia ipotesi sarà la topologia, ma a causa della mia mancanza di background, non posso dire nulla.

Il motivo principale per cui sono curioso di questo sarebbe: la prima volta che ho letto la sua definizione, non ero sicuro del perché e di come qualcuno potesse concepirlo e a quale scopo. Se la domanda non è ancora chiara, proverei finalmente ad affermarla in questo modo - Facciamo finta che la nozione di larghezza dell'albero non esistesse. Quali domande naturali (o estensioni di alcuni teoremi / concetti matematici) a impostazioni discrete porteranno a concepire una definizione (lasciami usare la parola in questione) come larghezza dell'albero.

Se vuoi davvero sapere cosa ha portato Neil Robertson e me all'altezza dell'albero, non erano affatto algoritmi. Stavamo cercando di risolvere la congettura di Wagner secondo cui in qualsiasi serie infinita di grafici, uno di essi è un minorenne di un altro, e avevamo ragione all'inizio. Sapevamo che era vero se ci limitassimo ai grafici senza percorso k-vertice; lasciami spiegare perché. Sapevamo che tutti questi grafici avevano una struttura semplice (più esattamente, ogni grafico senza percorso k-vertice ha questa struttura e ogni grafico con questa struttura non ha percorso 2 ^ k-vertice); e sapevamo che in ogni infinito insieme di grafici tutti con questa struttura, uno di loro era un minore di un altro. Quindi la congettura di Wagner era vera per i grafici con un limite sulla loro lunghezza massima del percorso.

Sapevamo anche che era vero per i grafici senza k-star come minorenne, ancora una volta perché avevamo un teorema di struttura per tali grafici. Abbiamo cercato di cercare minori più generali con teoremi di struttura corrispondenti che potessimo usare per provare le congetture di Wagner e che ci hanno portato all'ampiezza del percorso; escludi QUALSIASI albero come minore e ottieni una larghezza del percorso limitata e se hai una larghezza del percorso limitata, allora ci sono alberi che non puoi avere come minore. (È stato un teorema difficile per noi; abbiamo avuto una prova tremendamente dura nel primo documento di Graph Minors, non leggerlo, può essere reso molto più semplice.) Ma potremmo provare la congettura di Wagner per grafici con larghezza del percorso limitata, e ciò significava che era vero per i grafici che non contenevano alcun albero fisso come minore; una grande generalizzazione del percorso e dei casi stellari di cui ho parlato prima.

Comunque, fatto ciò, abbiamo cercato di andare oltre. Non abbiamo potuto fare grafici generali, quindi abbiamo pensato ai grafici planari. Abbiamo trovato un teorema di struttura per i grafici planari che non conteneva alcun grafico planare fisso come un minore (questo era facile); era limitato all'altezza degli alberi. Abbiamo dimostrato che per qualsiasi grafico planare fisso, tutti i grafici planari che non lo contenevano come un minore avevano limitato la larghezza dell'albero. Come puoi immaginare, è stato davvero emozionante; per coincidenza, il teorema della struttura per escludere i grafici planari (all'interno di grafici planari più grandi) era una svolta naturale del teorema della struttura per escludere gli alberi (all'interno dei grafici generali). Abbiamo sentito che stavamo facendo qualcosa di giusto. E questo ci consente di dimostrare la congettura di Wagner per tutti i grafici planari, perché avevamo questo teorema di struttura.

Poiché la larghezza dell'albero ha funzionato per escludere i grafici planari all'interno di grafici planari più grandi, era una questione naturale se funzionasse per escludere i grafici planari all'interno dei grafici non planari - era vero che per ogni grafico planare fisso, tutti i grafici che non lo contenevano come minore aveva limitato la larghezza dell'albero? Questo non potremmo dimostrarlo a lungo, ma è così che abbiamo pensato alla larghezza dell'albero dei grafici generali. E una volta che abbiamo avuto il concetto di larghezza dell'albero, era abbastanza chiaro che era buono per gli algoritmi. (E sì, non avevamo idea che Halin avesse già pensato alla larghezza dell'albero.)

Ecco come potresti inventare tu stesso il concetto di larghezza dell'albero.

Supponiamo di voler contare il numero di set indipendenti nel seguente grafico.

Gli insiemi indipendenti possono essere partizionati in quelli in cui il nodo superiore è occupato e in quelli in cui non è occupato

Ora, nota che sapendo se il nodo superiore è occupato, puoi contare il numero di set indipendenti in ciascun sottoproblema separatamente e moltiplicarli. Ripetere questo processo in modo ricorsivo ti dà un algoritmo per contare set indipendenti basati su separatori di grafici.

Supponiamo che tu non abbia più un albero. Questo significa che i separatori sono più grandi, ma puoi usare la stessa idea. Considera di contare set indipendenti nel seguente grafico.

Utilizzare la stessa idea di suddividere il problema in sottoproblemi sul separatore per ottenere quanto segue

Come nell'esempio precedente, ogni termine della somma si decompone in due attività di conteggio più piccole attraverso il separatore.

Si noti che nella somma abbiamo più termini che nell'esempio precedente perché dobbiamo enumerare tutte le configurazioni sul nostro separatore, che possono potenzialmente crescere esponenzialmente con le dimensioni del separatore (dimensione 2 in questo caso).

La decomposizione dell'albero è una struttura di dati per archiviare in modo compatto questi passaggi di partizionamento ricorsivi. Considera il seguente grafico e la sua decomposizione dell'albero

Per contare usando questa scomposizione, devi prima correggere i valori nei nodi 3,6 che la dividono in 2 sottoproblemi. Nel primo sottoproblema, aggiusteresti anche il nodo 5, che divide la sua parte in due sottoparti più piccole.

La dimensione del più grande separatore in una decomposizione ricorsiva ottimale è precisamente la larghezza dell'albero. Per problemi di conteggio più grandi, la dimensione del separatore più grande domina l'autonomia, motivo per cui questa quantità è così importante.

Per quanto riguarda la nozione di larghezza dell'albero che misura quanto il grafico è vicino a un albero, un modo per renderlo intuitivo è quello di guardare la derivazione alternativa della decomposizione dell'albero - dalla corrispondenza con i grafici cordali. Prima triangola il grafico attraversando i vertici in ordine e collegando tutti i vicini "di ordine superiore" di ciascun vertice.

Quindi costruisci la decomposizione dell'albero prendendo le cricche massime e collegandole se la loro intersezione è un separatore massimo.

Gli approcci di separazione ricorsiva e basati sulla triangolazione per la costruzione della decomposizione degli alberi sono equivalenti. La larghezza dell'albero + 1 è la dimensione della cricca più grande nella triangolazione ottimale del grafico, o se il grafico è già triangolato, solo la dimensione della cricca più grande.

Quindi, in un certo senso, i grafici cordali della larghezza degli alberi tw possono essere pensati come alberi in cui invece di singoli nodi abbiamo cricche di dimensioni sovrapposte al massimo tw + 1. I grafici non cordali sono tali "alberi della cricca" con alcuni bordi della cricca mancanti

Ecco alcuni grafici cordali e la loro larghezza dell'albero.

Credo che la larghezza degli alberi sia iniziata con il documento di Robertson Seymour già consegnato. Ma alcuni precursori precedenti sembrano essere:

• Il concetto di una "dimensione" di un grafico che controllerebbe il comportamento degli algoritmi di proogramma dinamico su di esso, da Bertelé, Umberto; Brioschi, Francesco (1972), Programmazione dinamica non seriale .

• Il concetto di giochi di inseguimento-evasione sui grafici, da Parsons, TD (1976). "Inseguimento-evasione in un grafico". Teoria e applicazioni dei grafici . Springer-Verlag. pagg. 426–441. Una variante di questo è stata molto più tardi dimostrata equivalente alla larghezza degli alberi: Seymour, Paul D .; Thomas, Robin (1993), "Ricerca grafica e un teorema min-max per la larghezza dell'albero", Journal of Combinatorial Theory, Serie B 58 (1): 22–33, doi: 10.1006 / jctb.1993.1027 .

• Gerarchie di separatori per grafici planari, a partire da Ungar, Peter (1951), "Un teorema sui grafici planari", Journal of the London Mathematical Society 1 (4): 256, doi: 10.1112 / jlms / s1-26.4.256 , e proseguendo con diversi articoli di Lipton e Tarjan nel 1979-1980. La dimensione del più grande separatore in una gerarchia di questo tipo è strettamente correlata alla larghezza dell'albero.

Andando avanti fino a un momento in cui le idee di Robertson-Seymour potrebbero aver già iniziato a fluttuare, c'è anche un documento precedente a Graph Minors II che collega esplicitamente le idee di evasione e separazione e che definisce una nozione di larghezza equivalente alla larghezza del percorso : Ellis, JA; Sudborough, IH; Turner, JS (1983), "Separazione dei grafici e numero di ricerca", Proc. 1983 Allerton Conf. su comunicazione, controllo e informatica.

Nella sua monografia sulla teoria dei grafi, Reinhard Diestel ripercorre il concetto di larghezza degli alberi e decomposizioni degli alberi in un articolo del 1976 di Halin (anche se non usando questi nomi). Attribuisce anche a questo documento il risultato che i grafici a griglia planare hanno una larghezza degli alberi illimitata. Certamente, cita anche il successivo articolo di Robertson e Seymour, che "ha riscoperto il concetto, ovviamente ignaro del lavoro di Halin" (scusate se la mia traduzione è scadente).

• $S$
• Reinhard Diestel. Graphentheorie , 3a edizione tedesca, Notizen zu Kapitel 10. (Alcune versioni inglesi del libro sono disponibili online per il download gratuito.)

La nozione di larghezza dell'albero [1] (e la simile larghezza del ramo della nozione ) è stata introdotta da Robertson e Seymour nelle loro pubblicazioni seminali su Graph Minors .

$G$$H$

Vedi: N. Robertson, PD Seymour. Grafico Minori. II. Aspetti algoritmici della larghezza dell'albero . JCT Series B (1986)