Disegnando grafici del numero di attraversamento limitato

Il teorema di Fáry afferma che un semplice grafico planare può essere disegnato senza incroci in modo che ogni bordo sia un segmento di linea retta.

La mia domanda è se esiste un analogo teorema per i grafici del numero di attraversamento limitato . In particolare, possiamo dire che un semplice grafico con il numero di attraversamento k può essere disegnato in modo che ci siano k incroci nel disegno e che ogni bordo sia una curva di grado al massimo f (k) per qualche funzione f?

EDIT: Come osserva David Eppstein, si vede facilmente che il teorema di Fáry implica un disegno di un grafico con il numero di incrocio k in modo che ogni bordo sia una catena poligonale con al massimo k curve. Sono ancora curioso di sapere se ogni bordo può essere disegnato con curve di grado limitate. Hsien-Chih Chang sottolinea che f (k) = 1 se k è 0, 1, 2, 3 e f (k)> 1 altrimenti.

Se un grafico ha un numero di incrocio limitato, può essere tracciato con quel numero di incroci nel modello di polilinea (ovvero ogni bordo è una catena poligonale, molto più comune nella letteratura del disegno grafico rispetto alle curve algebriche di grado limitato) con un numero limitato di curve per bordo. È vero anche più in generale se esiste un numero limitato di incroci per bordo. Per vedere questo, basta planarizzare il grafico (sostituire ogni incrocio con un vertice) e quindi applicare Fáry.

Ora, per usarlo per rispondere alla tua vera domanda, quello che devi fare è trovare una curva algebrica che è arbitrariamente vicina a una data polilinea, con il grado limitato da una funzione del numero di curve della polilinea. Questo può anche essere fatto, abbastanza facilmente. Ad esempio: per ogni segmento della polilinea, lasciare e io essere un ellisse con elevata eccentricità che è molto vicino alla s i , e lasciare p io un polinomio quadratico che si trova all'esterno positivo e io e negativa all'interno e i . Lascia che il tuo polinomio generale assuma la forma p = ϵ - ∏ i $s_i$$e_i$$s_i$$p_i$$e_i$$e_i$ dove ε è un piccolo numero reale positivo. Quindi un componente della curva p = 0 si troverà leggermente al di fuori dell'unione delle ellissi e può essere usato per sostituire la polilinea; il suo grado sarà il doppio del numero di ellissi, che è lineare nel numero di incroci per bordo.$p=\epsilon-\prod_i p_i$$\epsilon$$p=0$

$\overline{\mathsf{cr}}(G)$$G$$\mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq \mathsf{cr}(G)$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(G) \leq k$$k$

Nel documento Bounds per i numeri di incrocio rettilinei , Bienstock e Dean lo hanno dimostrato

$k \leq 3$$\overline{\mathsf{cr}}(G) = \mathsf{cr}(G)$$k \geq 4$$G_n$$\mathsf{cr}(G) = 4$$\overline{\mathsf{cr}}(G) \geq n$

$\mathsf{cr}(G) \leq 3$

$\overline{\mathsf{cr}}(G) \neq \mathsf{cr}(G)$$\mathsf{cr}(K_8) = 18$$\overline{\mathsf{cr}}(K_8) = 19$