Problemi in NP ma non in Average-P / poly

Il Theoem Karp – Lipton afferma che se , allora crolla in . Pertanto, supponendo che le separazioni tra e , nessun apparterrà a . $\mathsf{NP} \subset \mathsf{P/poly}$ $\mathsf{PH}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_2}$ $\mathsf{\Sigma^P_3}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P/poly}$

Sono interessato alla seguente domanda:

Supponendo che non collassi, o ipotizzando qualsiasi altra supposizione ragionevole in termini di complessità strutturale, quali problemi nella media sono comprovati non risiedere in (se presente)? $\mathsf{PH}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

Una definizione di può essere trovata nelle relazioni tra media e complessità peggiore . Grazie a Tsuyoshi per aver sottolineato che in realtà ho bisogno di usare invece di . $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ $\mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$ $\mathsf{P/poly}$

Penso che ci siano problemi come (le versioni decisionali di) FACTORING o DLOG che si presume si trovino in , ma la congettura non è provata in base a separazioni tra classi di complessità. (Per favore correggimi se sbaglio.) $\mathsf{NP} - \mathsf{Average\mbox{-}P/poly}$

— MS Dousti
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(1) Non credo che il presupposto che la gerarchia polinomiale non collassi sia noto implica che vi sia un problema mediocre in NP. La sezione 18.4 di Arora e Barak afferma: "[...] anche se sappiamo che se P = NP, la gerarchia polinomiale PH collassa in P [...], non abbiamo un risultato analogo per la complessità media dei casi."

— Tsuyoshi Ito

(2) P / poly nella domanda è il solito con complessità nel caso peggiore, o stai prendendo in considerazione un analogo del caso medio? Se è il caso peggiore, allora hai bisogno sia di DistP ≠ DistNP che di NP⊈P / poli per avere un tale problema, e se questi valgono, allora ogni problema completo di DistNP soddisfa il requisito perché un problema completo di DistNP è necessariamente NP-complete se buttiamo via la distribuzione di input.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: Grazie mille. Hai un punto sul P / poli nel caso peggiore rispetto al caso medio. Ripensandoci (riguardo al problema originale), penso di dover interpretare P / poly come una classe a medio caso .

— MS Dousti,

Ho letto la revisione 3. Tautologicamente, un tale problema esiste se e solo se DistNP ⊈ Average-P / poly. E se DistNP ⊈ Average-P / poly, allora ogni problema con DistNP completo si trova al di fuori di Average-P / poly perché Average-P / poly è chiuso in riduzioni (tra problemi distributivi). Ma forse stai chiedendo un problema più naturale sotto un'ipotesi più forte.

— Tsuyoshi Ito,

@Tsuyoshi: grazie. Potresti trasformare i commenti in una risposta in modo che io possa accettarlo?

— MS Dousti,

Questa è una versione leggermente migliorata dei miei due commenti sulla domanda combinata.

Limitiamo la nostra attenzione ai problemi distributivi in DistNP (aka (NP, P-calcolabile)) per semplicità. Quindi stai cercando un problema in DistNP ∖ Average-P / poly. Tautologicamente, un tale problema esiste se e solo se DistNP ⊈ Average-P / poly. E se DistNP ⊈ Average-P / poly, allora ogni problema con DistNP completo si trova al di fuori di Average-P / poly perché Average-P / poly è chiuso in caso di riduzioni nel caso medio.

(Considerando un SampNP di classe più grande (aka (NP, P-samplable) ) invece di DistNP non cambia molto la situazione perché DistNP ⊆ Average-P / poly se e solo se SampNP ⊆ Average-P / poly. Questa equivalenza è diretta corollario del risultato di Impagliazzo e Levin [IL90] che ogni problema distributivo in SampNP è in media caso riducibile a qualche problema distributivo in DistNP.)

Non so quale ipotesi naturale implichi DistNP ⊈ Average-P / poly. Il presupposto che la gerarchia polinomiale non collassi non è noto per implicare anche una conseguenza più debole che DistNP ⊈ Average-P, secondo la Sezione 18.4 di Arora e Barak [AB09]: “[…] anche se sappiamo che se P = NP , quindi la gerarchia polinomiale PH collassa a P […], non abbiamo un risultato analogo per la complessità media dei casi. ”

Riferimenti

[AB09] Sanjeev Arora e Boaz Barak. Complessità computazionale: un approccio moderno , Cambridge University Press, 2009.

[IL90] Russell Impagliazzo e Leonid A. Levin. Non c'è modo migliore per generare istanze NP difficili che scegliere uniformemente a caso. Nel 31 ° Simposio annuale sulle basi dell'informatica , 812–821, ottobre 1990. http://dx.doi.org/10.1109/FSCS.1990.89604

— Tsuyoshi Ito
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