Gerarchie in NP (presupponendo che P! = NP)

Supponendo che P! = NP, credo che sia stato dimostrato che ci sono problemi che non sono in P e non NP-Complete. Si ipotizza che l'isomorfismo grafico sia un tale problema.

Esistono prove di più di questi "strati" in NP? cioè una gerarchia di più di tre classi che iniziano in P e culminano in NP, in modo tale che ognuna è un vero e proprio superset dell'altra?

È possibile che la gerarchia sia infinita?

Sì! In effetti, esiste una gerarchia infinita di problemi sempre più difficili tra P e NP-complete supponendo che P! = NP. Questo è un corollario diretto della dimostrazione del teorema di Ladner (che ha stabilito la non vacuità di NP \ P)

Formalmente, sappiamo che per ogni insieme S non in P, esiste S 'non in P tale che S' è Karp-riducibile a S ma S non è Cook-riducibile a S '. Pertanto, se P! = NP, allora esiste una sequenza infinita di insiemi S ₁ , S ₂ ... in NP \ P tale che S _{i + 1} è Karp-riducibile a S _i ma S _i non è Cook-riducibile a S _{i + 1} .

Certo, la stragrande maggioranza di tali problemi è di natura altamente innaturale.

C'è una nozione di "non determinismo limitato" che limita i bit non deterministici richiesti dalla macchina di Turing per arrivare a una soluzione. La classe NP richiede ad esempio bit O (n). Limitando i bit non deterministici al polilogo si definisce una gerarchia infinita di classi di complessità chiamata gerarchia \ beta P tutte con problemi propri.

Vedi, ad esempio, il seguente articolo per i dettagli: Orafo, Levy, Mundhenk, "Non determinismo limitato", SIGACT News, vol 27 (2), pagine 20-29, 1996.