Risposte:
La relativa congettura di Khot implica il teorema del PCP con perfetta completezza: si prevede che la prova dia un'etichettatura dei vertici. Il verificatore seleziona un bordo casuale che interroga i suoi endpoint e accetta se il vincolo è valido.
Per ottenere un teorema di PCP con perfetta completezza dalle congetture di giochi uniche che devi, come scrive Boaz, convertire un PCP in uno con completezza perfetta. Un modo per farlo è:
Aggiungi nuove variabili una per vincolo e modifica il vincolo in modo che sia soddisfatto se la nuova variabile è vera, oppure se il vincolo era precedentemente soddisfatto. Ora la domanda si riduce a trovare un PCP per decidere se un insieme di m bit (= i nuovi var) ha la somma al massimo almeno . Questa sembra una domanda non banale, ma più semplice del teorema del PCP.
La congettura unica dei giochi è un'ipotesi di quest'ultima forma (dove, rafforzando la condizione è vicino a e è vicina a ) e, soprattutto, i vincoli sono di una forma molto speciale (vincoli di permutazione su due variabili) . In questo senso è (essenzialmente) la forma più forte del teorema del PCP.
Puoi chiedere se c'è una trasformazione facile per convertire un PCP con completezza imperfetta in uno con completezza perfetta. Penso che probabilmente possa essere fatto più facilmente che provare il teorema del PCP, ma al momento non sono consapevole di un argomento molto semplice.