Problema minimo di copertura del percorso

Lavoriamo con computer distribuiti e abbiamo riscontrato un problema di complessità che si riduce al minimo problema di copertura. Al momento non sappiamo come risolverlo. Il problema è il seguente:

Sia un numero intero e sia un grafico contenente vertici. Etichettiamo ogni vertice con una coppia tale che . Di seguito, chiamiamo i vertici usando la loro etichetta. L'insieme dei bordi in è definito come segue: . $k$ $Z_k$ $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$

Qual è la copertura minima del percorso di ? $Z_k$

Lettura di "Problemi di copertura del percorso in digrafi e applicazioni per programmare test" di Ntafos et al. , abbiamo visto che il percorso minimo che copre è uguale al cardinale del più grande insieme di vertici incomparabile. Stavamo pensando al seguente set: che ha un cardinale di . $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

Cordiali saluti,

Pierre

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— Pierre
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dovrebbe essere invece di nella definizione di un bordo di ?

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

— Suresh Venkat,

Sembra che il tuo grafico sia un DAG chiuso transitivamente, giusto? In tal caso (e questa è probabilmente una riaffermazione di ciò che dici nella tua citazione di Ntafos et al) il numero minimo di percorsi necessari per coprire il DAG è solo il numero massimo di elementi incomparabili a coppie; questo è il teorema di Dilworth .

Il tuo esempio può essere abbastanza semplice da poter identificare direttamente questo set massimo incomparabile, ma in generale è possibile trovare questo set in tempo polinomiale, mediante un algoritmo basato sulla corrispondenza del grafico. La sezione "Prova tramite il teorema di König" dell'articolo di Wikipedia sul teorema di Dilworth spiega come.

— David Eppstein
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