Max-taglio quadrato euclideo in dimensioni ridotte

Lascia che siano punti nel piano . Considera un grafico completo con i punti come vertici e con i pesi dei bordi di . Riesci sempre a trovare un taglio di peso che sia almeno del peso totale? In caso contrario, quale costante dovrebbe sostituire ? $x_1, \ldots, x_n$ $\mathbb{R}^2$ $\|x_i - x_j\|^2$ $\frac 2 3$ $\frac 2 3$

L'esempio peggiore che sono in grado di trovare sono 3 punti su un triangolo equilatero, che raggiunge il valore di $\frac 2 3$ . Nota che una divisione casuale produrrebbe $\frac 1 2$ , ma sembra intuitivamente ovvio che a dimensioni ridotte, si può raggruppare meglio che casualmente.

Cosa succede per max-k-cut per k> 2? Che ne dici di una dimensione d> 2? Esiste un framework per rispondere a tali domande? Conosco le disuguaglianze di Cheeger, ma quelle si applicano al taglio più scarso (non al taglio massimo) e funzionano solo con grafici regolari.

(La domanda è ispirata al problema del raggruppamento di sorgenti luminose nella computer grafica per ridurre al minimo la varianza).

— Milos Hasan
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Esiste una semplice approssimazione 1-2 / k per Max k-Cut e per k> 2 puoi trovare un buon taglio grande ma per k = 2 puoi vedere www-math.mit.edu/~goemans/PAPERS/maxcut -jacm.pdf e argomenti correlati, penso che se trovi un buon taglio con alta probabilità puoi dire che c'è un taglio con 2/3 o meno, almeno l'intervallo di possibilità sarà limitato.

— Saeed,

si noti tuttavia che la funzione peso qui è la distanza euclidea SQUARED, che non è una metrica.

— Suresh Venkat,

Immagino che max cut abbia un ptas, o forse anche un algoritmo polytime per questi casi, ma la domanda specifica è molto interessante. È chiaro qual è il taglio massimo quando i vertici sono equidistanti su un ciclo e che l'esempio in questa classe che minimizza il taglio massimo sono tre vertici equidistanti? Perché potrebbe esserci un argomento che mostra che ogni configurazione di punti può essere convertita in una configurazione `simmetrica 'senza aumentare il rapporto tra taglio massimo e peso totale, e quindi potrebbe essere sufficiente comprendere solo configurazioni altamente simmetriche

— Luca Trevisan

Inoltre, cosa succede in una dimensione? È possibile trovare una configurazione per cui il taglio massimo è circa i 2/3 del peso totale (un punto è -1, un punto è +1, 4 punti sono molto vicini allo zero; il peso totale è 12 e l'ottimale è 8). 2/3 è il rapporto più piccolo possibile tra taglio massimo e peso totale in 1 dimensione?

— Luca Trevisan,

@Luca: Sì, anche 1D non è banale. Intuitivamente, la costante dovrebbe avvicinarsi a 1/2 all'aumentare della dimensione. Per il caso 2D, potremmo supporre che il centro di gravità sia a (0,0) e che tutti i punti si adattino all'interno del cerchio unitario. Potrebbe esserci qualche argomento di "repulsione dei punti" che spinge i punti verso il cerchio unitario senza aumentare il peso di taglio, il che aiuterebbe, ma non sono riuscito a fissarlo.

— Milos Hasan,

Risposte:

La costante tende a 1/2 all'aumentare della dimensione. In dimensioni d, puoi avere d + 1 punti a distanza l'uno dall'altro, quindi la somma del quadrato della distanza è e il taglio massimo è al massimo , che è una frazione di del peso totale ${d+1 \choose 2}$ $(d+1)^2/4$ $\frac 12 \cdot \frac {d+1}{d}$

— Luca Trevisan
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OK, ma perché la configurazione di d + 1 punti ad una distanza 1 l'una dall'altra costituisce il caso peggiore? Sembra plausibile, ma è ovvio? (E per d = 1, due punti a distanza 1 l'uno dall'altro non sono chiaramente il caso peggiore; la configurazione a 6 punti che hai dato sopra è peggiore. Potrebbe essere che d = 1 sia l'unico caso patologico, e funziona per d> = 2?)

— Milos Hasan,

@milos Non sono sicuro di aver capito. sappiamo che 0,5 è realizzabile e questo esempio mostra che non puoi fare di meglio. Tuttavia, non rompe la congettura di 2/3 per l'aereo.

— Suresh Venkat,

@Suresh: Quello che stavo davvero cercando è dimostrare che puoi fare di meglio in dimensioni ridotte, cioè sono interessato alla sequenza dei valori effettivi delle costanti peggiori per particolari d basse.

— Milos Hasan,

Volevo davvero dimostrare un divario effettivo tra 1/2 e 2/3 per bassi d. Ciò avrebbe conseguenze interessanti, vale a dire che puoi battere la somma / integrazione di Monte Carlo (suddividendo il tuo problema in sotto-problemi in modo intelligente anziché casuale), se il tuo problema è intrinsecamente di bassa dimensione (ce ne sono molti).

— Milos Hasan,

Sebbene questa sia solo una risposta per la grande d, mostra quale tipo di difficoltà può emergere nell'analisi del caso di piccola d. Supponi che, in 2 dimensioni, potresti avere cinque punti la cui distanza quadratica quadrata è compresa tra 1 e 1,1. Quindi il peso totale è almeno 10 e il taglio massimo è al massimo 6,6. Se 2/3 è la risposta giusta per due dimensioni, devi essere in grado di dimostrare che se hai cinque punti in modo tale che tutte le distanze euclidee a coppie siano almeno una, una delle distanze euclidee a coppie è almeno . Come lo discuti?

\sqrt{1.1}

$\sqrt {1.1}$

— Luca Trevisan,

Prendi 3 punti A, B, C su un triangolo equilatero e aggiungi altri 3 punti D, E, F, al centro. È chiaro che vuoi due di A, B, C su un lato del taglio, quindi diciamo che il taglio su questi tre punti è (AB; C). Ora, ciascuno dei punti D, E, F deve andare sul lato C del taglio, quindi il taglio ottimale è (AB; CDEF) e il rapporto può essere facilmente controllato per essere 2/3.

Ora, sposta ciascuno dei punti D, E, F leggermente lontano dal centro per formare un piccolo triangolo equilatero. Non importa in quale direzione, purché siano simmetrici attorno al centro. Se li sposti di una distanza sufficiente, il taglio ottimale deve essere comunque (AB; CDEF). Considera la lunghezza di questo taglio. I bordi (AC, BC) formano 2/3 della lunghezza totale dei bordi (AB, BC, AC). Per simmetria, la lunghezza totale dei bordi (AD, AE, AF, BD, BE, BF) è 2/3 della lunghezza dei bordi (AD, AE, AF, BD, BE, BF, CD, CE, CF ). Ma nessuno dei bordi (DE, EF, DF) è nel taglio. Quindi il rapporto di questo taglio è strettamente inferiore a 2/3.

Dovresti essere in grado di ottimizzare questa costruzione per trovare una configurazione in cui il taglio ottimale è significativamente inferiore a 2/3. Provandolo, ottengo che se prendi sei punti disposti in due triangoli equilateri aventi lo stesso centro, con quello più piccolo la dimensione di quello più grande, quindi il massimo diventa il peso totale invece di . $(\sqrt{6}-1)/5 \approx .2899$ $.6408$ $2/3$

— Peter Shor
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Bello, hai ragione! Bene, un'altra elegante congettura morde la polvere ... È ancora una domanda aperta se la costante nel piano sia maggiore di 1/2 o se sia possibile ottenere con cluster , dove . Ci penserò di più.

1 - O (k^{- α})

$1 - O(k^{-\alpha})$

k

$k$

α > 1

$\alpha > 1$

— Milos Hasan,

La mia ipotesi è che la risposta giusta sia qualcosa di non molto inferiore a .64, ma non ho idea di come mostrare un limite inferiore.

— Peter Shor,