Problema minimo di connettività Flip

Oggi ho formulato il seguente problema mentre giocavo con il mio GPS. Ecco qui :

Sia un grafico diretto tale che se quindi , ovvero è un orientamento del grafico non orientato sottostante. Considera le seguenti operazioni:e = ( u , v ) ∈ E ( v , u ) ∉ E $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• $Flip(u,v)$ : sostituisci un bordo con un bordo( v , u $(u,v)$$(v,u)$
• $undirect(u,v)$ : rende il bordo non orientato$(u,v)$

Sia due vertici speciali. Considera i seguenti problemi di ottimizzazione:$s,t \in V$

• Connettività st Min-Flip: dati e due vertici trova il numero minimo di spigoli che devono essere capovolti per fare un percorso diretto da a .$G$$s,t$$s$$t$
• Connettività forte Min-Flip: dato trova il numero minimo di spigoli che devono essere capovolti per rendere fortemente connesso. Se non è possibile rendere fortemente connesso ruotando i bordi, emettere NO.$G$$G$$G$
• Connettività forte minima-non diretta: dato trova il numero minimo di bordi che devono essere non diretti per rendere fortemente connessa.$G$$G$

Si noti che non è consentito aggiungere bordi "nuovi". Stai solo modificando i bordi esistenti usando le operazioni sopra. Questo problema è noto in letteratura. In tal caso, quali sono i risultati noti?

Riepilogo: i problemi possono essere risolti in tempi polinomiali trovando un orientamento fortemente connesso a costo minimo.

Maggiori dettagli: un teorema di Robbins dice che i bordi di un grafico non orientato possono essere orientati in modo tale che il grafico diretto risultante sia fortemente connesso se e solo se il grafico non diretto è collegato a 2 bordi. Esistono diverse estensioni e una di esse dice che usando un algoritmo di flusso sottomodulare polinomiale, possiamo risolvere il seguente problema in tempo polinomiale: dato un grafico non orientato con costo del bordo (per entrambe le direzioni), trovare un orientamento a costo minimo che renda il grafico è fortemente connesso. Ad esempio, vedi l'articolo di Frank . Un algoritmo più recente è fornito da Iwata e Kobayashi .

Questo risultato dovrebbe essere utile per risolvere i problemi posti. Il primo problema può essere risolto con il metodo proposto da Tomek . Quindi ci concentreremo sugli altri problemi.

Per il secondo problema, utilizziamo la stessa costruzione di un grafico ponderato per i bordi di Tomek e troviamo un orientamento fortemente connesso a costo minimo in tempo polinomiale.

Per il terzo problema, per consentire entrambe le direzioni per ciascun bordo, dupliciamo ogni bordo e quindi applichiamo la stessa costruzione e lo stesso algoritmo. Questa è una riduzione valida poiché l'uso della stessa direzione per i bordi duplicati non influisce sulla forte connessione.

$G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$$s$$t$

$k$$k=0$$s$$t$$k$

Nel mio recente libro, Connections in Combinatorial Optimization (Oxford University Press, 2011), un tema centrale è rappresentato dai problemi di orientamento dei grafici, comprese le variazioni sopra discusse. È noto che un grafico connesso a 2k edge ha un orientamento connesso a k edge (questo è un teorema di Nash-Williams). Se il grafico non è collegato al bordo 2k, si potrebbe essere interessati a decidere se un dato sottoinsieme F di bordi è buono (nel senso che F ha un orientamento in modo che il grafico misto risultante sia collegato a bordo k). Nel libro ho descritto come risolvere questo problema in tempi polinomiali. Ma non so come trovare un buon set di cardinalità minima.

Andras Frank

Base di connettività st Min-Flip: calcola tutti i vertici che sono raggiungibili da s (T). se t è in T stop. Induttivo: considera tutti i vertici non in T che sono adiacenti a T con una sola rotazione e chiama questo U. Calcola i vertici raggiungibili da U chiama questo V. Se t è V stop, altrimenti aggiungi V a T e continua.

Connettività forte Min-Flip Devi dire non diretto perché avresti un problema con: A -> B