Problema minimo di connettività Flip


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Oggi ho formulato il seguente problema mentre giocavo con il mio GPS. Ecco qui :

Sia un grafico diretto tale che se quindi , ovvero è un orientamento del grafico non orientato sottostante. Considera le seguenti operazioni:e = ( u , v ) E ( v , u ) E GG(V,E)e=(u,v)E(v,u)EG

  • Flip(u,v) : sostituisci un bordo con un bordo( v , u )(u,v)(v,u)
  • undirect(u,v) : rende il bordo non orientato(u,v)

Sia due vertici speciali. Considera i seguenti problemi di ottimizzazione:s,tV

  • Connettività st Min-Flip: dati e due vertici trova il numero minimo di spigoli che devono essere capovolti per fare un percorso diretto da a .Gs,tst
  • Connettività forte Min-Flip: dato trova il numero minimo di spigoli che devono essere capovolti per rendere fortemente connesso. Se non è possibile rendere fortemente connesso ruotando i bordi, emettere NO.GGG
  • Connettività forte minima-non diretta: dato trova il numero minimo di bordi che devono essere non diretti per rendere fortemente connessa.GG

Si noti che non è consentito aggiungere bordi "nuovi". Stai solo modificando i bordi esistenti usando le operazioni sopra. Questo problema è noto in letteratura. In tal caso, quali sono i risultati noti?


Intendi dire il numero minimo di spigoli che devono essere capovolti, giusto?
Gaurav Kanade,

@ Gaurav: Sì. L'ho corretto.
Shiva Kintali,

Per il terzo problema, vuoi dire che un bordo non diretto può essere tracciato in entrambe le direzioni?
Yoshio Okamoto,

@Yoshio: Sì. I bordi non diretti possono essere utilizzati in entrambe le direzioni per determinare i percorsi.
Shiva Kintali,

Risposte:


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Riepilogo: i problemi possono essere risolti in tempi polinomiali trovando un orientamento fortemente connesso a costo minimo.

Maggiori dettagli: un teorema di Robbins dice che i bordi di un grafico non orientato possono essere orientati in modo tale che il grafico diretto risultante sia fortemente connesso se e solo se il grafico non diretto è collegato a 2 bordi. Esistono diverse estensioni e una di esse dice che usando un algoritmo di flusso sottomodulare polinomiale, possiamo risolvere il seguente problema in tempo polinomiale: dato un grafico non orientato con costo del bordo (per entrambe le direzioni), trovare un orientamento a costo minimo che renda il grafico è fortemente connesso. Ad esempio, vedi l'articolo di Frank . Un algoritmo più recente è fornito da Iwata e Kobayashi .

Questo risultato dovrebbe essere utile per risolvere i problemi posti. Il primo problema può essere risolto con il metodo proposto da Tomek . Quindi ci concentreremo sugli altri problemi.

Per il secondo problema, utilizziamo la stessa costruzione di un grafico ponderato per i bordi di Tomek e troviamo un orientamento fortemente connesso a costo minimo in tempo polinomiale.

Per il terzo problema, per consentire entrambe le direzioni per ciascun bordo, dupliciamo ogni bordo e quindi applichiamo la stessa costruzione e lo stesso algoritmo. Questa è una riduzione valida poiché l'uso della stessa direzione per i bordi duplicati non influisce sulla forte connessione.


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G=(V,E)E={(u,v,0)|(u,v)E}{(v,u,1)|(u,v)E}Gst



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Nel mio recente libro, Connections in Combinatorial Optimization (Oxford University Press, 2011), un tema centrale è rappresentato dai problemi di orientamento dei grafici, comprese le variazioni sopra discusse. È noto che un grafico connesso a 2k edge ha un orientamento connesso a k edge (questo è un teorema di Nash-Williams). Se il grafico non è collegato al bordo 2k, si potrebbe essere interessati a decidere se un dato sottoinsieme F di bordi è buono (nel senso che F ha un orientamento in modo che il grafico misto risultante sia collegato a bordo k). Nel libro ho descritto come risolvere questo problema in tempi polinomiali. Ma non so come trovare un buon set di cardinalità minima.

Andras Frank


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Base di connettività st Min-Flip: calcola tutti i vertici che sono raggiungibili da s (T). se t è in T stop. Induttivo: considera tutti i vertici non in T che sono adiacenti a T con una sola rotazione e chiama questo U. Calcola i vertici raggiungibili da U chiama questo V. Se t è V stop, altrimenti aggiungi V a T e continua.

Connettività forte Min-Flip Devi dire non diretto perché avresti un problema con: A -> B

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