Relazione tra parametro fisso e algoritmo di approssimazione

Parametri e approssimazioni fissi sono approcci totalmente diversi per risolvere problemi difficili. Hanno motivazioni diverse. L'approssimazione cerca risultati più rapidi con una soluzione approssimativa. Il parametro fisso cerca una soluzione esatta con complessità temporale in termini dell'esponenziale o qualche funzione di k e la funzione polinomiale di n dove n è la dimensione di input e k è il parametro. Esempio $2^kn^3$ .

Ora la mia domanda, c'è qualche superiore o inferiore risultato limite in base al rapporto tra il parametro fisso ed approssimazione approcci o hanno completamente non hanno alcun esempio relationship.For per un problema $P$ si dice che sia $W[i]$ difficile per alcuni $i>0$ non ha nulla a che fare con l'avere algoritmo c-approssimation o PTAS. si prega di fornire alcuni riferimenti

— Prabu
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Correlato, forse duplicato?: Cstheory.stackexchange.com/questions/4906/…

— Suresh Venkat

@suresh venkat Questa domanda riguarda la differenza nella comprensione dei parametri NP-complete e fissi. quando parliamo solo in termini di durezza NP, allora l'insieme indipendente e la copertura del vertice sono letteralmente uguali, ma quando parliamo in termini di parametro fisso hanno una differenza enorme. la copertura dei vertici ha una buona capacità, mentre il set indipendente è duro [W]

— Prabu il

ma qui sto cercando una relazione tra approssimazione e parametro fisso.

— Prabu,

Penso che non vi sia alcuna relazione reale tra di loro, ma usando un parametro fisso potremmo avere una buona approssimazione, ad esempio nell'imballaggio del cestino (scheduling di makepan) puoi vedere questa relazione, o ad esempio nei grafici limitati di Treewidth abbiamo approssimazioni su alcuni problemi .

— Saeed,

Risposte:

Esistono diverse connessioni tra la complessità parametrizzata e gli algoritmi di approssimazione.

Innanzitutto, considera la cosiddetta parametrizzazione standard di un problema. Qui, il parametro è ciò che ottimizzeresti nella versione di ottimizzazione del problema (la dimensione della copertura del vertice per il problema Copertura del vertice, la larghezza della decomposizione dell'albero per il problema della larghezza dell'albero, ecc.). Esaminiamo concretamente Vertex Cover. Qualsiasi kernel con un numero lineare di vertici per Vertex Cover implica un algoritmo di approssimazione a tempo polinomiale a fattore costante: nella soluzione approssimativa, inserisci tutti i vertici che sono stati forzati nella soluzione dall'algoritmo di kernel e tutti i vertici dell'istanza kernelized . D'altra parte, limiti inferiori sul fattore di approssimazione implicano limiti inferiori sulla dimensione di un kernel. Ad esempio, in base alla congettura dei giochi unici, Khot e Regev (JCSS 2008)escludere algoritmi di approssimazione per Vertex copertura con un rapporto di qualsiasi , che esclude un kernel per Vertex copertura con al massimo vertici, , pure. $c<2$ $ck$ $c<2$

EDIT: L'argomentazione per il limite inferiore del kernel nel paragrafo precedente è molto informale e, per quanto ne so, è chiaro se tali limiti inferiori sulla dimensione del kernel possano essere dimostrati, anche per Vertex Cover. Come sottolinea @Falk nei commenti, l'argomento vale per la maggior parte (tutti?) Kernel noti. Tuttavia, non vedo come si possa escludere l'esistenza di algoritmi di kernelization in cui una soluzione fattibile dell'istanza kernelized ha un rapporto di approssimazione diverso rispetto alla soluzione corrispondente nell'istanza iniziale.

$(1+\epsilon)$ $1/\epsilon$ $\epsilon=1/(k+1)$

$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$ $g$ per un sondaggio sull'approssimazione di FPT.

— Serge Gaspers
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@Gasper Puoi vedere la domanda "Trovare un sotto-torneo massimo aciclico dato due sotto-tornei aciclici". Ho ancora dubbi sulla mia risposta. Dato che hai lavorato con problemi correlati, puoi darmi una mano

— Prabu,

Il primo paragrafo della risposta di Serge è corretto? Il limite inferiore di approssimabilità produce un limite inferiore della dimensione del kernel? L'affermazione simile è nel libro di Niedermeier ma questa affermazione è corretta?

— XXYYXX

@XXYYXX: Nella risposta di Serge, ha scritto "Qualsiasi kernel con un numero lineare di vertici per Vertex Cover implica un algoritmo di approssimazione polinomiale a fattore costante" con una breve prova. Più precisamente, il suo argomento mostra se esiste un kernel con vertici ck per qualche costante c, quindi esiste un algoritmo di approssimazione fattore-c. Il contropositivo è: se non esiste un algoritmo di approssimazione fattore-c, allora non esiste un kernel con vertici ck.

— Yoshio Okamoto,

@Prabu: ho commentato la tua risposta all'altra domanda. @Yoshio: Grazie per aver risposto alla domanda di @ XXYYXX.

— Serge Gaspers,

In effetti, probabilmente per tutte le kernelizzazioni conosciute, l'argomento vale. Tuttavia, non vedo alcun motivo per cui non dovrebbe essercene uno che, ad esempio, prima si riduce a un altro problema, si inserisce nel kernel e quindi si riduce a Vertex Cover, in modo che l'istanza risultante non abbia corrispondenza vertice con quella iniziale. Quindi mi sembra che l'unica cosa che possiamo davvero mostrare è che i kernel che sono sottografi probabilmente non saranno più piccoli di 2k.

— Falk Hüffner,

$FPTAS$ $PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$ $NP$ $Q$ $FPTAS$ $Q$ $PFPT$

$PFPT$

$NP$ $Q$ $PFPT$ $O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$ $|x|$ $x$

Altre caratterizzazioni per due classi di approssimazione sono proposte in [2, Teorema 6.5].

Un problema è

$PTAS$ $ptas^{\infty}$ $XP^w$

$FPTAS$ $fptas^{\infty}$ $PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$ $(XP)PFPT^w$ $\frac{1}{\epsilon}$

Schemi di approssimazione temporale polinomiale e complessità parametrizzata . J. Chen et al. / Discrete Applied Mathematics 155 (2007) 180-193.
Struttura dell'approssimazione del tempo polinomiale . EJ van Leeuwen et al. Rapporto tecnico UU-CS-2009-034, dicembre 2009.

— Oleksandr Bondarenko
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