Funzione theta di Lovasz e grafici regolari (cicli dispari in particolare) - connessioni alla teoria spettrale

Il post è relativo a: /mathpro/59631/lovasz-theta-function-and-independence-number-of-product-of-simple-odd-cycles

Quanto è lontano il Lovasz legato alla capacità di errore zero dei grafici regolari? Ci sono esempi in cui il limite di Lovasz è noto per non essere uguale alla capacità di errore zero di un grafico normale? (Questa è stata risposta di seguito da Oleksandr Bondarenko.)

In particolare, è nota una rigida disuguaglianza per cicli dispari di lati maggiori o uguali a $7$ ?

Aggiornamento Quale miglioramento è necessario nella teoria spettrale per migliorare la funzione di theta di Lovasz in modo che il divario tra la capacità di Shannon e Lovasz Theta per i casi per i quali esiste un gap possa essere ridotto? (Nota: sono preoccupato solo dal punto di vista spettrale)

$G$$\Theta(G)$$\acute{a}$$\vartheta(G)$$[1]$$\ddot{a}$ $G$$\Theta(G)\leqslant7<\vartheta(G)=9$

In si nota che "I limiti superiori più noti su e per dispari e maggiore di sono dati dalla funzione theta di Lovasz ...". Da ciò concludo che la risposta alla tua ultima domanda è no (da allora non conosco alcun risultato in miglioramento su questo.).$[2]$$\Theta(C_m)$$\Theta(\overline{C}_m)$$m$$5$

Trovare la capacità di Shannon anche per sarebbe un grande passo avanti per questo difficile problema. Inoltre, si può notare che$C_7$

"non è noto se il problema di decidere se la capacità di Shannon di un dato grafico di input supera un determinato valore è decidibile".

1. W. Haemers, " Su alcuni problemi di Lov sz riguardanti la capacità di Shannon di un grafico$\acute{a}$ ", IEEE Trans. sulla teoria dell'informazione, vol. 25, n. 2, pagg. 231–232, marzo 1979.
2. T. Bohman, " Un teorema limite per le capacità di Shannon dei cicli dispari. II ," Atti della American Mathematical Society, 2005.
3. N. Alon, " Ragionamento combinatorio nella teoria dell'informazione ".