Esistenza di

10

Considera il problema del set dominante nei grafici generali e lascia che sia il numero di vertici in un grafico. Un avido algoritmo di approssimazione fornisce una garanzia di approssimazione del fattore , cioè è possibile trovare in tempo polinomiale una soluzione tale che , dove è la dimensione di un insieme minimo dominante. Ci sono limiti che dimostrano che non siamo in grado di migliorare la dipendenza dal molto $n$ $1 + \log n$ $S$ $|S| \leq (1 + \log n) opt$ $opt$ $\log n$ http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf .

La mia domanda: c'è un algoritmo di approssimazione che ha una garanzia in termini di al posto di ? Nei grafici dove è molto grande rispetto alla ottimale, un factor approssimazione sarebbe molto peggio di un fattore approssimazione. Qualcosa del genere è noto o ci sono ragioni per cui questo non può esistere? Sono contento di qualsiasi algoritmo del tempo polinomiale che produce una soluzione tale che per alcune costanti $opt$ $n$ $n$ $\log n$ $\log opt$ $S$ $|S| \in O(opt^c)$ $c$ .

cc.complexity-theory approximation-algorithms approximation-hardness

— Bart Jansen
fonte

14

Penso che sia ancora aperto se Dominating Set o Hitting Set hanno un'approssimazione af (OPT) per alcune funzioni (non banali) f. Questa dovrebbe essere una domanda molto difficile (e forse profonda) a cui rispondere. La considero la domanda più eccitante nell'approssimazione parametrica (insieme alla domanda analoga per Clique). Potresti dare un'occhiata al mio sondaggio [1] che ne discute. Si noti che nel documento più recente [2] è mostrato che "la soddisfacibilità del circuito monotono per i circuiti di trama-2", un problema più generale di Dominating Set, non ha approssimazione f (OPT) per nessun f.

[1] D. Marx. Algoritmi di approssimazione e complessità parametrizzati. The Computer Journal, 51 (1): 60-78, 2008.

[2] D. Marx. Problemi parametrici monotono e antimonotone completamente inapprossimabili. In Atti della 25a Conferenza annuale IEEE sulla complessità computazionale, Cambridge, Massachusetts, 181-187, 2010.

— Daniel Marx
fonte

Grazie per i riferimenti! Questo risponde bene alla mia domanda.

— Bart Jansen,

Potrebbe anche essere interessante guardare la seguente nota di Nelson che mostra che non si possono ottenere buoni rapporti che dipendono solo dal numero di set. eccc.hpi-web.de/eccc-reports/2007/TR07-105/revisn01.pdf

— Chandra Chekuri

2

Questo dovrebbe essere un commento, poiché non risponde direttamente alla tua domanda, ma a una domanda correlata. Forse un simile trucco di [1] ti fornirà una risposta.

In [1] è dimostrato quanto segue:

$G=(V,E)$ $k$ $k$ $G$ $g(k)$ $g(k)$ $k$ $G$ $k$

$g(k)$

[1] Rodney G. Downey, Michael R. Fellows, Catherine McCartin e Frances Rosamond. "Approssimazione parametrizzata di problemi di set dominanti". Lettere per l'elaborazione delle informazioni, Volume 109 Numero 1, Dicembre 2008.

— Ruub
fonte

1

Il trucco in [1] si basa sul fatto che l'Independent Dominating Set come problema di massimizzazione non è monotono: un sottoinsieme di una soluzione fattibile non è necessariamente una soluzione fattibile (che di solito è il caso di problemi di massimizzazione con approssimazioni significative). Pertanto, è molto probabile che ogni soluzione possibile abbia le stesse dimensioni, rendendo irrilevante l'approssimazione.

— Daniel Marx,