Qual è la complessità di Nurikabe (possibilmente succinto)?

Nurikabe è un puzzle di riempimento della griglia basato su vincoli, vagamente simile a Minesweeper / Nonograms; i numeri vengono posizionati su una griglia che deve essere riempita con valori on / off per ogni cella, con ogni numero che indica una regione di celle "on" connesse di quella dimensione e alcuni vincoli minori sulla regione di celle "off" deve essere collegato e non può contenere regioni 2x2 contigue). La pagina di Wikipedia ha regole più esplicite e puzzle di esempio.

Generalmente, i puzzle di questo tipo tendono ad essere NP-completi e Nurikabe non fa eccezione; cadono in NP perché la soluzione stessa funge da testimone (verificabile polinomialmente) del problema. Ma a differenza della maggior parte dei puzzle simili, le istanze di Nurikabe potrebbero essere sintetiche: il Sudoku su una griglia richiede che dati siano risolvibili (se vengono offerti meno di dati, allora non c'è modo di distinguere tra i mancanti simboli), ovviamente i nonogrammi ne richiedono almeno uno per ogni riga o colonna e il dragamine deve avere dei dati su almeno delle celle o ci saranno celle non accanto a un dato (e il cui stato quindi non può essere determinato ). Ma mentre i doni di un puzzle Nurikabe devono riassumereΘ ( n ) n - 1 $n\times n$$\Theta(n)$$n-1$ Θ(n2$1\over16$$\Theta(n^2)$ , è possibile che dia ognuna di quelle dimensioni, in modo che i bit possano essere sufficienti per specificare un puzzle Nurikabe di dimensioni - o capovolgendo, bit può essere sufficiente per specificare un'istanza Nurikabe di dimensioni esponenziali in , il che significa che l'unica garanzia è che il problema risiede nel NEXP.Θ ( log ( n ) ) n k $\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

Sfortunatamente, le prove della durezza di Nurikabe che ho trovato usano tutte le costruzioni con dati di dimensioni costanti, quindi le loro istanze sono polinomiali nelle dimensioni della griglia piuttosto che logaritmiche, e non posso escludere che tutto sia risolvibile i puzzle Nurikabe "succinti" hanno una struttura aggiuntiva in modo tale che le soluzioni possano essere descritte e verificate altrettanto succintamente; per esempio, l'unico esempio che conosco di un puzzle con 2 dati di dimensione porta a regioni di celle sia dentro che fuori che sono ciascuna l'unione diΘ ( n 2 ) O ( 1 $\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$rettangoli, e quindi hanno una descrizione sintetica del loro. Qualcuno sa di ulteriori ricerche condotte in questo enigma oltre il risultato di base della completezza NP, e in particolare ulteriori risultati di complessità per i casi possibilmente succinti?

(nota: questo è stato originariamente chiesto a math.SE , ma non ci sono ancora state risposte e questo sembra un livello di ricerca appropriato per questo sito)

Sembra che tu stia davvero chiedendo: Nurikabe è a NP?

Nurikabe è NP-difficile, dal momento che è possibile creare gadget di dimensioni polinomiali che possono essere utilizzati per ridurre un problema NP completo a un problema decisionale di Nurikabe. Questo è ciò che fanno Holzer, Klein e Kutrib, e anche McPhail e Fix nel loro poster (entrambi citati dall'articolo di Wikipedia).

Entrambi i gruppi di autori presumono che il problema sia insignificante in NP e sventolano la questione dell'appartenenza. Il tuo disagio per le istanze succinte sembra perfetto: non credo che il problema sia in NP. Considera il seguente modo per formalizzare il problema decisionale:

Input BINARY NURIKABE : numeri interi m e n in binario , che rappresentano una scheda Nurikabe, e un elenco di triple, ciascuna delle quali indica una posizione sulla scheda e un numero intero positivo scritto in quella posizione.
Domanda: le posizioni rimanenti del tabellone possono essere colorate con due colori, rispettando i vincoli Nurikabe?

Se e sono invece specificati in unario , allora il problema decisionale di determinare se esiste una soluzione (non necessariamente unica) per una determinata istanza Nurikabe è in NP, poiché una soluzione può essere specificata al massimo in bit che è quindi polinomiale nella dimensione di input.$m$$n$$mn$

Al contrario, con una codifica binaria, c'è un problema (come fai notare): se uno ha solo un grande vincolo (diciamo, il numero posto nel mezzo di board), quindi una soluzione richiederà bit per rappresentare, che è esponenziale nella dimensione dell'input . Ciò significa che il problema non si trova in NP, a meno che non esistano sempre piccoli certificati.$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

La tua domanda diventa allora: esistono certificati di dimensioni polinomiali per tutte le istanze binarie di Nurikabe, che possono essere verificate in tempo polinomiale?

Non è ovvio per me che tali certificati esistano necessariamente. Né è ovvio come si farebbe per dimostrare che certificati succinti e rapidamente verificabili non possono esistere.

Tuttavia, la restrizione a soluzioni uniche significa che il problema è in realtà statunitense , quindi co-NP-difficile, e quindi improbabile che si trovi in ​​NP. Il punto è che se si considera "ha una soluzione unica" come un vincolo Nurikabe (al contrario di una caratteristica desiderabile di casi presentati agli umani), allora non è sufficiente dimostrare che esiste una soluzione, ma si deve anche dimostrare che non sono possibili altre soluzioni. Questo requisito da solo è quindi sufficiente per garantire che il problema non si verifichi probabilmente in NP. Questo vale anche per la versione unaria del problema.

In sintesi: se si allenta il requisito di soluzioni uniche e si specifica la dimensione della scheda in unario, il problema decisionale è in NP; con soluzioni non uniche e dimensioni della scheda binaria, non è chiaro se il problema decisionale sia in NP; e con soluzioni uniche il problema decisionale è difficile per gli Stati Uniti e quindi è improbabile che si trovi in ​​NP, sia per la codifica delle dimensioni della scheda.