Asintotici per cambio moneta

Dato $n$ denominazioni di monete, con $c_1=1$ e $c_2<c_3<..<c_{n}$ essendo numeri casuali distribuiti uniformemente nell'intervallo $[2,N]$ . Asintoticamente, per quale frazione di monete l'algoritmo avido genera un cambiamento ottimale usando questo insieme di denominazioni?

La risposta è nota per 3 denominazioni ; ma per quanto riguarda il caso generale?

ds.algorithms

— Ganesh
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Stabilire la probabilità per 4 denominazioni è stata posta da Thane Plambeck, che ha anche fornito un'espressione per la probabilità per 3 denominazioni (vedere il link fornito dal PO). L'OP sta ponendo una domanda più generale sul comportamento asintotico di questa probabilità. Questo potrebbe forse essere più adatto per math.SE e MO, con tag asintotici. @Ganesh: qual è la tua motivazione TCS o il motivo del tag ds.algorithms?

— András Salamon,

@ Andras, questo è molto un problema di teoria della complessità. Ad esempio, se l'approccio avido ottiene una soluzione ottimale, diciamo il 90% delle volte, potrei anche dimenticare la programmazione dinamica e accontentarmi di soluzioni non ottimali il restante 10% delle volte. Forse questo è più appropriato in matematica. *, Ma la motivazione sta nel TCS. Alla fine, il "tag giusto" mi è sfuggito - quindi ho pensato che ds.algorithms fosse la migliore approssimazione.

— Ganesh,

Questa non è una risposta, ma forse questo indicherà te o qualcun altro nella giusta direzione.

Ho trovato l'articolo di D. Kozen e S. Zaks chiamato "Limiti ottimali per il problema del cambiamento" in cui danno le condizioni per quando l'algoritmo di modifica del denaro avido di un'istanza di cambio moneta è ottimale. Userò la loro notazione.

Data un'istanza di cambio moneta di monete distinte a funzione rappresenta il numero ottimale di monete necessarie per apportare modifiche per una funzione $m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ rappresenta il numero di monete necessarie per fare avidamente il cambiamento per , quindi se , esiste un controesempio nell'intervallo $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < X < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

Continuano a dimostrarlo

$x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$sol (X) \leq sol (X - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

Questo ci dà un test "efficiente" (fino al tempo pseudo polinomiale) per determinare se un'istanza di cambio moneta è avida o meno.

Utilizzando quanto sopra, ho eseguito una breve simulazione i cui risultati sono tracciati su una scala log-log di seguito

inserisci qui la descrizione dell'immagine

$m$ $[1 \cdots N]$

$m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) α N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$ . Se l'equazione di cui sopra vale, allora è facile da vedere, ma potrebbero esserci altri modi di vederla che danno la stessa conclusione. Ad esempio, guardando il lavoro del modello di energia casuale di Borgs, Chayes, Mertens e Nair indica che l'energia è troppo frastagliata in basso per aspettarsi mosse locali (cioè mosse avide) per fornire una soluzione ottimale. Questo è ovviamente per il problema della partizione numerica e viene fornito solo per dare un po 'di intuizione piuttosto che una risposta definitiva.

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ) che non sembrano essere distribuiti uniformemente. Forse guardare altre distribuzioni per generare i tagli delle monete produrrebbe risultati non banali nel limite del sistema di grandi dimensioni. Ad esempio, una distribuzione della legge sul potere potrebbe produrre tagli in moneta più simili a quelli statunitensi.

— user834
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