Limitare il numero di spigoli tra i grafici a stella in modo tale che il grafico sia planare

Ho un grafico che consiste solo di grafici a stella. Un grafico a stella è costituito da un nodo centrale con bordi ad ogni altro nodo al suo interno. Let H_1, H_2, \ ldots, H_n essere diversi grafici stelle di diverse dimensioni che sono presenti in G . Chiamiamo l'insieme di tutti i nodi che sono i centri in qualsiasi grafico stella R .$G$$H_1, H_2, \ldots, H_n$$G$$R$

Ora supponiamo questi grafici stelle costruiscono bordi ad altri grafici stelle A tale che nessun bordo è incidente tra qualsiasi nodo in $R$ . Quindi, quanti spigoli esistono al massimo tra i nodi in $R$ e i nodi che non sono in $R$ , se il grafico deve rimanere planare?

Voglio il limite superiore sul numero di tali bordi. Uno limite superiore che ho in mente è: li considera come grafo planare bilaterale in cui $R$ è un insieme di vertici e di riposo dei vertici formano un altro gruppo $A$ . Siamo interessati ai bordi tra questi set ( $R$ e $A$ ). Poiché è bipartito planare, il numero di tali bordi è delimitato dal doppio del numero di nodi in $G$ .

Quello che sento è che c'è una migliore legato, forse due volte i nodi , più il numero di nodi in .$A$$R$

Nel caso in cui tu possa smentire la mia intuizione, anche questo sarebbe positivo. Spero che alcuni di voi possano trovare un buon limite insieme ad alcuni argomenti pertinenti.

La sua dichiarazione è un po 'ambiguo: prima si scrive che "... tale che nessun bordo è incidente tra i nodi ", ma il paragrafo successivo implica che ci sono anche spigoli tra i vertici di . Supporrò anche che le stelle siano disgiunte e che si contano tutti i bordi (compresi quelli inizialmente presenti nelle stelle). Supponiamo anche che ci siano almeno due stelle e che almeno una di esse abbia un grado .A ≥ $R$$A$$\ge 2$

In tal caso, non puoi battere il limite ( = numero di tutti i vertici). Prendi in considerazione uno scenario leggermente diverso: inizia con qualsiasi set di vertici, alcuni rossi alcuni neri, almeno due di ogni tipo. Ad ogni passaggio aggiungere arbitrariamente un bordo tra un vertice rosso e uno nero, purché non crei intersezioni o bordi duplicati. Dichiaro che quando rimani bloccato, tutti i cicli hanno lunghezza .N N $2N-4$$N$$N$$4$

Il tuo scenario è un caso speciale di questo processo in cui inizi creando prima le stelle e poi aggiungendo i bordi rimanenti. Se tutti i cicli hanno lunghezza , segue il limite . Più in generale, mostra che, indipendentemente dal grafico bipartito da cui inizi, puoi sempre completarlo in un quadrilatero (una parola che ho inventato).2 N - $4$$2N-4$

Ora, mostriamo il reclamo. In questo processo, tutti i percorsi avranno vertici neri e rossi alternati e ogni ciclo avrà una lunghezza di almeno . Se il grafico non è collegato, è possibile collegare qualsiasi vertice rosso sulla faccia esterna di un componente con un vertice nero sull'altra faccia di un altro componente. Quindi possiamo supporre che il grafico sia già connesso.$4$

Supponiamo di avere una faccia di lunghezza o più. deve avere almeno tre vertici neri (alcuni possibilmente uguali). Se qualche vertice viene ripetuta su , prendere due apparenze senso orario consecutivi di , dire . deve contenere un vertice nero , così, a seconda della posizione di , potremmo collegare sia o per all'interno senza duplicare bordi. Se non si ripete nessun vertice, selezionare una sezione in senso orario di6 F x F x x - a - . . . - x - b . . . F z ≠ x z a b z F x - a - y - b - z F x , y , z a , b x b a z ( x , b ) ( a , z $F$$6$$F$$x$$F$$x$$x-a-...-x-b...$$F$$z\neq x$$z$$a$$b$$z$$F$$x-a-y-b-z$$F$, dove sono neri e sono rossi. Se è collegato a quindi non può essere collegato a (per planarità), in modo da poter aggiungere uno dei bordi , all'interno .$x,y,z$$a,b$$x$$b$$a$$z$$(x,b)$$(a,z)$$F$