Per quale k è PLANAR NAE k-SAT in P?

Il problema Not All Equal -SAT (NAE k -SAT), dato un set C di clausole su un set X di variabili booleane in modo tale che ogni clausola contenga al massimo k letterali, chiede se esiste un'assegnazione di verità delle variabili tale che ogni clausola contiene almeno un vero e almeno un falso letterale.$k$$k$$C$$X$$k$

Il problema PLANAR NAE -SAT è la restrizione di NAE k -SAT a quei casi in cui il grafico bipartito dell'incidenza di C e X (cioè il grafico delle parti C e X con un bordo compreso tra x ∈ X e c ∈ C se e solo se x o ¯ x appartiene a c ), è planare.$k$$k$$C$$X$$C$$X$$x\in X$$c\in C$$x$$\overline{x}$$c$

È noto che NAE 3-SAT è NP completo (Garey e Johnson, Computer e intrattabilità; una guida alla teoria della completezza NP), ma PLANAR NAE 3-SAT è in P (vedi NAE3SAT planare è in P, B Moret, ACM SIGACT News, Volume 19 Numero 2, Estate 1988 - sfortunatamente non ho accesso a questo documento).

PLANAR NAE -SAT è in P per alcuni k ≥ 4 ? Esiste un valore di k per il quale è stato dimostrato che NP è completo?$k$$k\geq 4$$k$

KE PLANARE -SAT è in P per tutti i valori di k .$k$$k$

Il motivo è che possiamo ridurre PLANAR NAE -SAT a PLANAR NAE 3 -SAT. Sia ϕ un'istanza di PLANAR NAE k -SAT e supponiamo che ϕ contenga una clausola C con i letterali ℓ 1 , ℓ 2 , … , ℓ k . Introdurre una nuova variabile v C e sostituire C con due clausole NAE C 1 e C 2 . C 1 contiene 3 letterali ℓ 1 , ℓ $k$$3$$\phi$$k$$\phi$$C$$\ell_1, \ell_2, \dots, \ell_k$$v_C$$C$$C_1$$C_2$$C_1$$3$$\ell_1$$\ell_2$e , mentre C 2 contiene k - 1 letterali ˉ v C , ℓ 3 , ℓ 4 , … , ℓ k . È facile vedere che C è soddisfacente se C 1 ∧ C 2 è e che la trasformazione preserva la planarità. Ora, possiamo applicare ripetutamente questa procedura sulle clausole per ottenere eventualmente un'istanza ϕ ′ di NAE 3 -SAT come desiderato.$v_C$$C_2$$k-1$$\bar{v}_C, \ell_3, \ell_4, \dots, \ell_k$$C$$C_1 \wedge C_2$$\phi'$$3$