L'esistenza del conservatore di distanza planare?

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Sia G un grafico n-nodo non orientato e T sia un sottoinsieme nodo di V (G) chiamato terminali . Un conservatore di distanza di (G, T) è un grafico H che soddisfa la proprietà

d_{H} (u, v) = d_{sol} (u, v)

$d_H(u,v) = d_G(u,v)$

per tutti i nodi u, v in T. (Notare che H NON è necessariamente un sottografo di G.)

Ad esempio, sia G il seguente grafico (a) e T i nodi sulla faccia esterna. Quindi il grafico (b) è un indicatore di distanza di (G, T).

inserisci qui la descrizione dell'immagine

È noto che esistono conservatori di distanza con vari parametri. Sono particolarmente interessato a quello con le seguenti proprietà:

G è planare e non ponderato (ovvero, tutti i bordi di G hanno peso uno),
T ha dimensione e $O(n^{0.5})$
H ha dimensioni (il numero di nodi e bordi) . (Sarebbe bello se avessimo .) $o(n)$ $O(\frac{n}{\log\log n})$

Esiste un tale conservatore di distanza?

Se non si riesce a soddisfare le proprietà di cui sopra, viene accolto qualsiasi tipo di rilassamento.

Riferimenti:

Preservatori di distanza sparsi alla fonte e alla coppia , Don Coppersmith e Michael Elkin, SIDMA, 2006.
Conservatori di distanza sparsi e chiavi per additivi , Béla Bollobás, Don Coppersmith e Michael Elkin, SIDMA, 2005.
Chiavi ed emulatori con errori di distanza sublineari , Mikkel Thorup e Uri Zwick, SODA, 2006.
Limiti inferiori per chiavi additive, emulatori e altro , David P. Woodruff, FOCS, 2006.

Il conservatore di distanza è anche noto come emulatore ; molti lavori correlati possono essere trovati su internet cercando il termine chiave inglese , che richiede che H sia un sottografo di G. Ma nelle mie applicazioni possiamo usare anche altri grafici, purché H preservi le distanze tra T in G.

— Hsien-Chih Chang 張顯之
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−1 per l'utilizzo di JPEG per questo tipo di figura! (scherzando, ma PNG di solito è molto meglio sia in termini di qualità dell'immagine che di dimensione del file per figure semplici)

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: grazie per i consigli utili! Non lo sapevo :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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Molti anni dopo, sembra che OP abbia finalmente risposto alla sua domanda: un emulatore di distanza quasi ottimale per i grafici planari di Hsien-Chih Chang, Paweł Gawrychowski, Shay Mozes e Oren Weimann è stato appena pubblicato sull'Arxiv.

$\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ $|T| =: t$ $\widetilde{O}(n^{3/4})$ $\widetilde{O}(n)$

(In una nota meno formale, trovo questo risultato davvero sorprendente. Complimenti!)

— GMB
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Grazie @GMB per averlo pubblicato come risposta. Un piccolo problema è che il conservatore è diretto ; è una questione aperta se esiste un emulatore non diretto (ma non necessariamente planare) di dimensioni sublineari. Ma è abbastanza soddisfacente conoscere finalmente la risposta a una vecchia domanda dopo tutti questi anni :)

— Hsien-Chih Chang 張顯之

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potresti voler guardare la chiave di sottoinsieme planare di Klein, che conserva le distanze fino a un fattore 1 + epsilon.

Una chiave del sottoinsieme per i grafici planari, con l'applicazione al sottoinsieme TSP http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

— Christian Sommer
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Grazie, ho letto il documento e c'è un divario tra la sua costruzione e le nostre esigenze. Sembra che qualsiasi chiave non funzionerà finché è un sottografo del grafico originale; si può prendere un grafico a griglia come controesempio. Ma ci sono emulatori per i grafici a griglia.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

un'altra idea di costruzione, forse funziona? 1) applicare in modo ricorsivo i separatori del percorso più breve (Thorup, FOCS'01) 2) copertina eps per ciascun vertice [i primi due passaggi costruiscono etichette di distanza] ci sono terminali sqrt {n}, ciascuno con un'etichetta di dimensione O (log n / eps), collegandosi a un numero totale di al massimo sqrt {n} * log n percorsi e 1 / eps volte più portali 3) scorciatoia dei portali sui percorsi per bordi ponderati e collegamento delle connessioni ai portali per bordi il grafico risultante dovrebbe avere circa sqrt {n} * registra n vertici e bordi (fino a eps) e rappresenta 1 + eps percorsi più brevi per distanze esatte che non conosco ...

— Christian Sommer,