Qual è la nozione più importante di scarsità per la progettazione di algoritmi grafici efficienti?

Esistono diverse nozioni concorrenti di un "grafico sparsa". Ad esempio, un grafico incorporabile in superficie potrebbe essere considerato scarso. O un grafico con densità del bordo limitata. O un grafico con circonferenza alta. Un grafico con grande espansione. Un grafico con larghezza dell'albero limitata. (Anche all'interno del sottocampo di grafici casuali, è leggermente ambiguo riguardo a ciò che potrebbe essere chiamato scarso.) Et cetera.

Quale nozione di "grafico sparso" ha avuto il maggiore impatto sulla progettazione di algoritmi grafici efficienti, e perché? Allo stesso modo, quale nozione di "grafico denso" ...? (NB: Karpinski ha lavorato molto sui risultati di approssimazione per un modello standard di grafici densi.)

Ho appena visto un discorso di J. Nesetril su un suo programma (insieme a P. Ossona de Mendez) per catturare misure di scarsità nei grafici all'interno di un quadro unificato (asintotico). La mia domanda - sì, forse abbastanza soggettiva e mi aspetto campi diversi - è motivata dal desiderio di cogliere una prospettiva sfaccettata sull'uso della scarsità negli algoritmi (e colmare eventuali lacune nella mia comprensione del problema).

Penso che, secondo uno standard ragionevole, un grafico a griglia tridimensionale n × n × n dovrebbe essere considerato scarso, e che esclude la maggior parte delle definizioni candidate che coinvolgono matrimoni di superficie o minori. (La larghezza dell'albero sublineare sarebbe comunque possibile.)

La mia attuale misura di sparsità preferita è la degenerazione . La degenerazione di un grafico è il minimo, su tutti gli ordinamenti lineari dei vertici del grafico, del massimo livello inferiore nell'orientamento aciclico diretto del grafico formato orientando ciascun bordo dai vertici precedenti a quelli successivi nell'ordinamento. Equivalentemente, è il massimo, su tutti i sottografi, del grado minimo nel sottografo. Quindi, ad esempio, i grafici planari hanno una degenerazione cinque perché qualsiasi sottografo di un grafico planare ha un vertice di grado al massimo cinque. La degenerazione è facile da calcolare in tempo lineare e l'ordinamento lineare che deriva dalla definizione è utile negli algoritmi .

La degenerazione è all'interno di un fattore costante di alcune altre misure standard tra cui l'arboricità, lo spessore e il grado medio massimo di qualsiasi sottografo, ma penso che siano più difficili da usare.

Sembrano esserci molte nozioni "buone" di scarsità, ma esiste una sorta di gerarchia per quelle nozioni strutturali di scarsità che hanno un sapore teorico-modello. Penso che questi abbiano avuto un forte impatto su algoritmi grafici efficienti.

$k$$K_{k+2}$

Le note del corso di Anuj Dawar del novembre 2010 discutono anche della larghezza degli alberi limitata a livello locale, il che è incomparabile con i minori esclusi. Il grado limitato definisce chiaramente i grafici sparsi e tali grafici hanno limitato la larghezza degli alberi locale, ma non sono definibili da un insieme di minori esclusi.

L'impatto del grado limitato è chiaro: è spesso una delle prime restrizioni mostrate per rendere trattabile un problema difficile, ad esempio l'algoritmo di Luks per l'isomorfismo grafico sui grafici a grado limitato. Anche l'impatto dell'esclusione di un minore è evidente, almeno nelle vesti della larghezza limitata degli alberi (come sottolineato da Suresh).

L'idea di escludere localmente un minore generalizza sia la larghezza degli alberi limitata localmente sia i minori esclusi, formando così la classe "più generale" nella gerarchia. Tuttavia, non è ancora chiaro come utilizzare questa proprietà negli algoritmi pratici. Anche il caso "trattabile" dell'esclusione di un minore non ha necessariamente buoni algoritmi pratici; abbondanti costanti abbondano negli algoritmi teorico-modello. Spero che alcune di queste classi si rivelino avere algoritmi praticamente efficienti a lungo termine.

Vedi anche la mia risposta cosa è facile per i grafici esclusi da minori? per ulteriori commenti correlati.

Non riesco a pensare a nessuna proprietà grafica che abbia avuto tanto impatto sulla progettazione di algoritmi efficienti quanto la larghezza degli alberi limitata e la bidimensionalità in generale.

Si può pensare a un grafico come a una matrice di adiacenza - ci sono diverse definizioni per la sparsità della matrice (% di zero voci, per esempio) che potrebbero tradursi nel grafico stesso. Oltre alla% di zero voci, la larghezza di banda della matrice in un riordino potrebbe essere un buon proxy per la sparsità del grafico (sembra che la larghezza di banda sia correlata alla degenerazione).