Classe di complessità corrispondente all'ordinamento

Due parti di TCS sono algoritmi e complessità. Dirò semplicisticamente che gli algoritmi sono lo studio dei limiti superiori, dimostrando che puoi fare qualcosa (con determinate risorse limitate), e la complessità sta nel mostrare che non puoi farlo senza alcune risorse minime.

Così spesso un problema algoritmico è dichiarato in un modello decisionale per inserirlo in una classe di complessità.

Ma qualcosa che mi ha sempre infastidito è che alcuni algoritmi elementari non vengono mai citati come appartenenti a una determinata classe. Un esempio è l'ordinamento (confronto). Prova come potrei, una classe pertinente sembra troppo carente (davvero, sta solo controllando nello spazio di log che il risultato è ordinato? Sembra solo troppo debole, o non sto ottenendo la versione della decisione giusta).

Qual è la classe di complessità migliore / più appropriata / più utile in cui si trova l'ordinamento comparativo?

cc.complexity-theory sorting

— Mitch
fonte

Risposte:

Il problema di ordinamento è in realtà completo per $\mathsf{TC}^0$ (con riduzione ). Una fonte standard per questo è la Sezione 1.4.3 del libro di Vollmer . $\mathsf{AC}^0$

Si noti che è la classe di problemi decisionali, ma di solito pensiamo all'ordinamento come a un problema di funzione, cioè vogliamo produrre i numeri, diciamo, in ordine decrescente. Tuttavia, possiamo anche definire l'ordinamento come un problema decisionale come segue: $\mathsf{TC}^0$

Data una sequenza di numeri e due numeri , vogliamo decidere se è nella posizione nella sequenza che otteniamo ordinando in non-diminuzione ordine. Nota che per evitare ambiguità, quando , vogliamo che preceda se . $a_1,\ldots,a_n$ $k,p\in [n]$ $a_k$ $p$ $a_1,\ldots,a_n$ $a_i=a_j$ $a_i$ $a_j$ $i<j$

— Dai Le
fonte

Eccellente ... specificato quale problema di decisione formale?

— Mitch,

Sarebbe doppio eccellente includere un riferimento nella tua risposta.

— Oleksandr Bondarenko,

@Mitch e @Okeksandr: grazie per i tuoi commenti! Ho appena esteso la mia risposta per chiarire quei punti.

— Dai Le

Sembra il problema decisionale per le statistiche degli ordini. C'è un problema correlato in cui tutto è al posto giusto? Qualcosa come dare una sequenza

e una permutazione

, decide se

. Questo è difficile come il tuo; è più difficile o completo per una classe inclusa?

a_{1} . . . a_{n}

$a_1...a_n$

σ

$\sigma$

[1.. n]

$[1..n]$

\forall_{1 \leq k < j \leq n}, a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$\forall_{1\le k\lt j\le n}, a_{\sigma_k} < a_{\sigma_j}$

— Mitch,

@Mitch: credo che controllare se tutto sia nel posto giusto in quel modo sia in realtà più facile dell'ordinamento. L'intuizione è che puoi verificare che

per tutte le coppie possibili

con

in parallelo, che credo possa essere fatto in

. Per il problema di ordinamento sopra riportato, è necessario "contare" per capire la posizione corretta di un numero nell'ordinamento lineare.

a_{σ_{k}} < a_{σ_{j}}

$a_{\sigma_k}<a_{\sigma_j}$

(a_{σ_{k}}, a_{σ_{j}})

$(a_{\sigma_k},a_{\sigma_j})$

k < j

$k<j$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Dai Le

Credo che FP sia quello che stai cercando.

— Nicholas Mancuso
fonte

Bene, sto piuttosto cercando la classe di complessità decisionale pertinente piuttosto che quella funzionale, ma anche così, sono abbastanza certo che l'ordinamento di confronto non sia vicino a P-complete (o FP-complete), quindi mi aspetto una classe più piccola per la quale dovrebbe essere / completare.

— Mitch,

Non sapevo che la completezza fosse uno dei requisiti della tua domanda. Come problema decisionale (se si ignora il vincolo di completezza) perché P non sarebbe accettabile come risposta? Dato un DTM puoi produrre e validare un certificato in tempo polinomiale.

— Nicholas Mancuso,

Dato un problema generale, ciò che di solito voglio sapere non è solo che è il momento polinomiale, ma la classe più piccola in cui potrebbe trovarsi. Mi piacerebbe sapere se è in LOGCFL, NL, L, AC_0, ecc. Completezza è un modo in cui "non puoi" fare di meglio. Quindi non è un requisito della mia domanda, ma è probabile che ci sia una risposta.

— Mitch,