Limitare il divario tra la complessità delle query quantistica e deterministica

Sebbene siano note separazioni esponenziali tra complessità della query quantistica con errore limitato ( $Q(f)$ ) e complessità della query deterministica ( $D(f)$ ) o complessità della query randomizzata con errore limitato ( $R(f)$ ), si applicano solo a determinate funzioni parziali. Se le funzioni parziali hanno alcune strutture speciali, allora sono anche polinomialmente correlate con $D(f) = O(Q(f)^9))$ . Tuttavia, sono principalmente preoccupato per le funzioni totali.

In un documento classico è stato dimostrato che $D(f)$ è delimitato da $O(Q(f)^6)$ per le funzioni totali, $O(Q(f)^4)$ per le funzioni totali monotone e $O(Q(f)^2)$ per funzioni totali simmetriche. Tuttavia, non sono note separazioni superiori a quadratiche per questo tipo di funzioni (questa separazione è ottenuta da $OR$per esempio). Per quanto ho capito, molte persone ipotizzano che per le funzioni totali abbiamo $D(f) = O(Q(f)^2)$ . In quali condizioni è stata dimostrata questa congettura (a parte le funzioni simmetriche)? Quali sono i migliori limiti attuali sulla complessità dell'albero decisionale in termini di complessità quantistica delle query per le funzioni totali?

$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

$n$$\Omega(\sqrt{n})$

Sebbene questi progressi siano stati limitati, ci sono stati notevoli progressi nel limitare la complessità della query quantistica di funzioni specifiche ; vedere questa recensione per i dettagli (o ad esempio il più recente documento di Reichardt, il che dimostra che la versione più generale del '' nemico '' caratterizza legati quantum complessità delle query).

Mi piace la risposta di Ashley Montanaro, ma ho pensato di includere anche una serie di funzioni per le quali è nota la congettura.

$OR$

$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Dettagli:

$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Puoi mostrare che . Quindi è possibile utilizzare l'algoritmo presentato in Buhrman e de Wolf indagine per dimostrare che:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Se limitiamo l'attenzione alle proprietà del grafico, allora possiamo dimostrare limiti leggermente migliorati rispetto ai limiti generali che menzioni:

In un documento classico è stato dimostrato che è delimitato da per le funzioni totali, per le funzioni totali monotone e per funzioni totali simmetriche.$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

Innanzitutto penso che il sesto limite di potenza possa essere migliorato alla quarta potenza per le proprietà grafiche. Ciò segue da [1], dove mostrano che qualsiasi proprietà del grafico ha almeno una complessità di query , dove è la dimensione di input, che è quadratica nel numero di vertici. Naturalmente la complessità delle query classica è al massimo .$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

La 4a potenza associata per le funzioni totali monotone può essere migliorata alla 3a potenza per le proprietà del grafico monotono. Ciò deriva da un'osservazione inedita di Yao e Santha (menzionata in [2]) che tutte le proprietà del grafico monotono hanno complessità quantistica della query .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, "Proprietà grafiche e funzioni circolari: quanto può essere bassa la complessità della query quantistica?", Complessità computazionale, 2004. Atti. 19ª Conferenza annuale IEEE su, vol., N. Pp.286.293, 21-24 giugno 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Algoritmi quantistici per il problema del triangolo", Atti del sedicesimo simposio annuale ACM-SIAM sugli algoritmi discreti, Vancouver, British Columbia: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1109-1117, arXiv: quant -ph / 0.310.134.

Nel 2015 sono stati compiuti molti progressi su questa domanda.

Innanzitutto, in arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , gli autori hanno migliorato la separazione quadratica mostrando una funzione totale con$f$

D'altra parte, in arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , è stato dimostrato che la relazione quadratica tra complessità quantistica e deterministica della query vale quando il dominio della funzione è molto piccolo.