Limitare il divario tra la complessità delle query quantistica e deterministica


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Sebbene siano note separazioni esponenziali tra complessità della query quantistica con errore limitato ( Q(f) ) e complessità della query deterministica ( D(f) ) o complessità della query randomizzata con errore limitato ( R(f) ), si applicano solo a determinate funzioni parziali. Se le funzioni parziali hanno alcune strutture speciali, allora sono anche polinomialmente correlate con D(f)=O(Q(f)9)) . Tuttavia, sono principalmente preoccupato per le funzioni totali.

In un documento classico è stato dimostrato che D(f) è delimitato da O(Q(f)6) per le funzioni totali, O(Q(f)4) per le funzioni totali monotone e O(Q(f)2) per funzioni totali simmetriche. Tuttavia, non sono note separazioni superiori a quadratiche per questo tipo di funzioni (questa separazione è ottenuta da ORper esempio). Per quanto ho capito, molte persone ipotizzano che per le funzioni totali abbiamo D(f)=O(Q(f)2) . In quali condizioni è stata dimostrata questa congettura (a parte le funzioni simmetriche)? Quali sono i migliori limiti attuali sulla complessità dell'albero decisionale in termini di complessità quantistica delle query per le funzioni totali?

Risposte:


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D(f)=O(QE(f))3QE(f)f

nΩ(n)

Sebbene questi progressi siano stati limitati, ci sono stati notevoli progressi nel limitare la complessità della query quantistica di funzioni specifiche ; vedere questa recensione per i dettagli (o ad esempio il più recente documento di Reichardt, il che dimostra che la versione più generale del '' nemico '' caratterizza legati quantum complessità delle query).


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Mi piace la risposta di Ashley Montanaro, ma ho pensato di includere anche una serie di funzioni per le quali è nota la congettura.

OR

fD(f)=O(Q(f)2)


Dettagli:

xS{1,...,n}y(iSyi=xi)f(y)=f(x)Cx(f)xC1(f)=maxx|f(x)=1Cx(f)f(x)=0

Puoi mostrare che . Quindi è possibile utilizzare l'algoritmo presentato in Buhrman e de Wolf indagine per dimostrare che:Q(f)bs(f)2C0(f)/2C1(f)+1D(f)C1(f)bs(f)C0(f)C1(f)


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Se limitiamo l'attenzione alle proprietà del grafico, allora possiamo dimostrare limiti leggermente migliorati rispetto ai limiti generali che menzioni:

In un documento classico è stato dimostrato che è delimitato da per le funzioni totali, per le funzioni totali monotone e per funzioni totali simmetriche.D(f)O(Q(f)6)O(Q(f)4)O(Q(f)2)

Innanzitutto penso che il sesto limite di potenza possa essere migliorato alla quarta potenza per le proprietà grafiche. Ciò segue da [1], dove mostrano che qualsiasi proprietà del grafico ha almeno una complessità di query , dove è la dimensione di input, che è quadratica nel numero di vertici. Naturalmente la complessità delle query classica è al massimo .Ω(N1/4)NNN

La 4a potenza associata per le funzioni totali monotone può essere migliorata alla 3a potenza per le proprietà del grafico monotono. Ciò deriva da un'osservazione inedita di Yao e Santha (menzionata in [2]) che tutte le proprietà del grafico monotono hanno complessità quantistica della query .Ω(N1/3log1/6N)

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, "Proprietà grafiche e funzioni circolari: quanto può essere bassa la complessità della query quantistica?", Complessità computazionale, 2004. Atti. 19ª Conferenza annuale IEEE su, vol., N. Pp.286.293, 21-24 giugno 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Magniez, Frédéric; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Algoritmi quantistici per il problema del triangolo", Atti del sedicesimo simposio annuale ACM-SIAM sugli algoritmi discreti, Vancouver, British Columbia: Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 1109-1117, arXiv: quant -ph / 0.310.134.


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Nel 2015 sono stati compiuti molti progressi su questa domanda.

Innanzitutto, in arXiv: 1506.04719 [cs.CC] , gli autori hanno migliorato la separazione quadratica mostrando una funzione totale conf

Q(f)=O~(D(f)1/4).

D'altra parte, in arXiv: 1512.04016 [quant-ph] , è stato dimostrato che la relazione quadratica tra complessità quantistica e deterministica della query vale quando il dominio della funzione è molto piccolo.

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