Il più grande sottografo comune di due grafici planari massimi

Considera il seguente problema:

Dato massima planare grafici e G 2 , per il grafo G con il numero massimo di bordi in modo tale che ci sia un sottografo (non necessariamente indotto) sia G 1 e G 2 che è isomorfo a G .$G_1$$G_2$$G$$G_1$$G_2$$G$

Questo può essere fatto in tempo polinomiale? Se sì, allora come?

È noto che se e G 2 sono grafici generali, il problema è NP-completo (poiché G 1 potrebbe essere una cricca). È anche noto che se G 1 e G 2 sono alberi, o k-alberi parziali limitati, il problema può essere risolto in tempo polinomiale. E che dire del massimo caso planare? Qualcuno lo sa? L'isomorfismo grafico su due grafici planari massimi è polinomiale. Forse questo aiuta in qualche modo?$G_1$$G_2$$G_1$$G_1$$G_2$

È NP completo, tramite una versione modificata della riduzione utilizzata da Wigderson per dimostrare che l'hamiltonicità dei grafici planari massimi è NP completo.

Un attento esame della prova di completezza NP di Wigderson del 1982 per i cicli hamiltoniani nei grafici planari massimi ( http://www.math.ias.edu/avi/node/820 ) mostra che le istanze prodotte dalla sua riduzione hanno la proprietà che lì esiste un bordo tale che o esiste un ciclo hamiltoniano tramite posta o non esiste alcun ciclo Hamiltoniano affatto. Ad esempio, e può essere scelto per essere uno dei bordi di uno dei M- gadget di Wigderson .$e$$e$$e$$M$

Sia un'istanza difficile costruita in questo modo e incorpora G in modo che il bordo e appartenga al triangolo esterno dell'incorporamento. Connect molte copie di questo grafico incorporato in modo che le loro e -edges formano un ciclo, e rendere il massimo risultato planare nuovamente aggiungendo due vertici, uno su ogni lato di questo ciclo, collegati a tutti i vertici esposte delle copie di G . Lasciare che il numero di copie sia c , e chiamare il risultante grafico H . Lasciate n è il numero di vertici in G .$G$$G$$e$$e$$G$$c$$H$$n$$G$

Il nostro esempio difficile per il grande sottografo comune sarà la coppia dove B è un bipyramid con lo stesso numero di vertici come H . Pertanto, un sottografo comune ottimale dovrà accoppiare tutti i vertici. Se rendiamo c abbastanza grande, il sottografo accoppierà necessariamente gli apici del bipiramide con i due vertici aggiunti in H , perché i loro gradi ( c e 2 c ) saranno sufficientemente più alti di ogni altro vertice in H , in modo da aggiungere questi gradi alle dimensioni della soluzione compenserà qualsiasi interruzione altrove causata da questa associazione.$(H,B)$$B$$H$$c$$H$$c$$2c$$H$

Se è hamiltoniano, il sottografo comune formato abbinando il ciclo hamiltoniano (meno e ) nelle copie di G all'equatore del bipiramide avrà i bordi c ( n + 2 ) , c ( n - 1 ) per l'equatore e 3 c per gli apici. Se G non è hamiltoniano, allora (per scelte abbastanza grandi di c che la soluzione ottimale abbina correttamente gli apici) qualsiasi sottografo comune avrà meno spigoli: ancora 3 c agli apici ma meno di c ( $G$$e$$G$$c(n+2)$$c(n-1)$$3c$$G$$c$$3c$ altrove. Quindi verificare se il sottografo comune di H e B ha almeno ibordi c ( n + 2 ) è NP-completo.$c(n-1)$$H$$B$$c(n+2)$