Colpire una serie di famiglie che si intersecano a coppie

Un set di colpire di una famiglia $\mathcal{S} = \{S_1, \dots, S_n\}$ è un sottoinsieme di tale che per . Il problema di trovare una serie minima di colpire di una determinata famiglia è NP-difficile in generale, poiché generalizza il problema della copertura dei vertici. Ora la mia domanda è:⋃ n i = 1 S i H ∩ S i ≠ ∅ 1 ≤ i ≤ $H$$\bigcup_{i=1}^{n} S_i$$H \cap S_i \ne \emptyset$$1 \le i \le n$

Il problema del set di colpi rimane NP-difficile quando gli elementi di intersecano a coppie?$\mathcal{S}$

Sono anche interessato alla durezza di approssimazione (o tracciabilità) di questo problema.

La risposta è sì: il problema è ancora NP-Complete. per ogni set crea un elemento falso e crea un nuovo set S_i' = S_i \ cup \ {e_i '\} e S_i' '= S_i \ cup \ {e_i' '\} . È facile verificare che qualsiasi set di suoneria del vecchio sistema sia un set di suoneria del nuovo sistema. Inoltre, ad eccezione degli elementi falsi, ogni elemento ora colpisce almeno tre set.$S_i$ S ′ i = S i ∪ { e ′ i$e_i', e_i''$$S_i' = S_i \cup \{ e_i'\}$$S_i'' = S_i \cup \{e_i''\}$

Quindi, per ogni coppia di set nel nuovo sistema (chiamiamoli e per evitare confusione), crea un elemento falso e aggiungilo a e . Chiaramente, nel sistema di set risultante tutti i set si intersecano a coppie, ma il set di colpi ottimale originale è ancora il set di colpi ottimale per questo nuovo sistema.T j x i j T i T $T_i$$T_j$$x_{ij}$$T_i$$T_j$

Senza ulteriori restrizioni il problema sembra difficile come il problema originale.

A proposito, dimostrando che in effetti la soluzione ottimale non userebbe nessuno degli elementi falsi non è banale. In primo luogo, possiamo supporre che un determinato set di hit per il nuovo sistema non includa alcun o , poiché altrimenti possiamo spostare gli elementi sugli elementi originali dei set e ottenere un set di colpire di dimensioni simili. È leggermente più sottile capire perché gli elementi non sono nel set di colpi ottimale. Dato che è noioso, vorrei solo lasciare un suggerimento: costruisci un grafico che collega due insiemi e nel sistema originale se collega due insiemi derivati ​​da questi insiemi. Sostieni che questo grafico nel set minimo di colpire deve essere e ″ i x i j S i S j x i j$e_i'$$e_i''$$x_{ij}$$S_i$$S_j$$x_{ij}$$3$regolare e come tale il numero di spigoli in essa supera rigorosamente il numero di insiemi presenti come vertici. Come tale, si può trovare un set di colpire più piccolo per questi set.