Il gioco Dracula

Background
Questa domanda è motivata da un gioco da tavolo chiamato "Dracula". In questo gioco c'è un vampiro e quattro cacciatori, lo scopo dei cacciatori è catturare il vampiro. Il gioco si svolge in Europa. Il gioco ha il seguente aspetto:
1. Il giocatore cacciatore mette tutti i cacciatori nelle città. Più di un cacciatore può essere collocato nella stessa città.
2. Il giocatore vampiro mette il vampiro in una città.
3. I giocatori spostano alternativamente le loro creature nelle città vicine.
4. Il giocatore cacciatore a sua volta può muovere quanti cacciatori vuole.
5. La difficoltà principale è che il giocatore vampiro sa sempre dove si trovano i cacciatori, ma il giocatore cacciatore conosce solo la posizione iniziale del vampiro.
6. Quando un cacciatore e il vampiro si incontrano in una città, il giocatore vampiro perde.

Domanda
Per un dato grafico e numeri e , esiste una strategia che garantisce al giocatore cacciatore, che controlla cacciatori, di catturare vampiri in meno di turni? Si può presumere che sia planare. Questo problema è stato studiato? Alcuni riferimenti sarebbero apprezzati.$G$$n$$k$$n$$k$$G$

Il gioco che hai descritto assomiglia molto al gioco di k Cops e 1 Robber, come descritto in questo articolo di Clarke e Macgillivray: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X12000064 . Fondamentalmente, si gioca posizionando k poliziotti e un ladro sui vertici di un grafico e chiedendo ai poliziotti di catturare il ladro muovendosi lungo i bordi.

La differenza principale rispetto al tuo gioco e questa è la visibilità parziale dei cacciatori, mentre nei poliziotti e ladri classici, i poliziotti sanno esattamente dove si trova il ladro e viceversa. Inoltre, nei poliziotti e nei ladri il tempo non è limitato.

Anche con informazioni complete, se il tempo non è limitato, è stato dimostrato che determinare se i k-poliziotti potrebbero eventualmente catturare il ladro in tempo finito quando il ladro e i poliziotti giocano in modo ottimale è un tempo esponenziale completo ( http://arxiv.org /abs/1309.5405 ) quando k non è corretto. Quindi, dal momento che il tuo gioco è più difficile da giocare per gli sbirri, immagino che non possa essere risolto anche in tempi polinomiali in cui il tempo non è limitato. Penso che il numero di mosse necessarie affinché k poliziotti possano catturare un ladro può essere limitato sopra, per esempio c, e se il numero di passaggi che k ha permesso ai cacciatori è vicino a questo numero c, allora il gioco di cacciatori e vampiri sarebbe almeno altrettanto difficile da risolvere rispetto a k poliziotti e ladri (vedi l'articolo di Bonato et al.: Il tempo di acquisizione del grafico).

Come notato da @MarcusRitt nei commenti, questo è noto come ricerca di grafici. Vorrei aggiungere, tuttavia, che è stata studiata anche la variante specifica che descrivi (cioè, correlando il numero di round giocati con il numero di ricercatori impiegati), che non è indicato nell'articolo di Wikipedia. È interessante notare che il passaggio dallo spazio di ricerca al tempo di ricerca mantiene le caratterizzazioni del problema (introducendo appropriate versioni "doppie" dei rispettivi parametri).

Vedi l'articolo "Ricerca dei grafici e tempi di ricerca" di Brandenburg e Herrmann a SOFSEM 2006.

Se generalizziamo le condizioni di gioco, allora è uguale al gioco Cop-Robber di larghezza del percorso. L'unico rilassamento è che il ladro può spostarsi su qualsiasi vertice$v$$v$$1$$1$$k$, anche per i grafici planari è possibile approssimare il numero di poliziotti (e quindi ottenere la corrispondente decomposizione) in tempo polinomiale. Potresti essere interessato a leggere di più da queste note di lezione.