Contesto.
Sto scrivendo su temi come il teorema di Gottesman-Knill , utilizzando gruppi stabilizzatore Pauli, ma nel caso di d qudits -dimensionale - dove D può avere più di un fattore primario. (Sottolineo questo perché la maggior parte della letteratura sul formalismo stabilizzante in "dimensioni superiori" coinvolge i casi di d primo o d un potere principale, e fa uso di campi finiti; sto considerando invece la gruppi ciclici ℤ d .)
Per qualsiasi dimensione, io caratterizzo un gruppo stabilizzatore (Pauli) come un sottogruppo abeliano del gruppo Pauli, in cui ogni operatore ha uno spazio autogeno +1 .
Sto scrivendo di un risultato che è noto per d = 2 (e facilmente generalizzabile in d prime):
Un gruppo stabilizzatore stabilizza uno stato puro unico se e solo se è massimo
dove per massima, intendo che qualsiasi estensione si trova al di fuori del gruppo Pauli, o non è abeliana, o contiene operatori senza autovalori +1.
Le prove di tali risultati per d prime di solito si basano sul fatto che ℤ d 2n è uno spazio vettoriale ( ovvero che ℤ d è un campo): ciò non vale per d composito. Esistono due risorse: generalizzare le prove esistenti in modo robusto per l'esistenza di zero divisori ( ad esempio utilizzando strumenti come la forma normale di Smith ), oppure evitare del tutto la teoria dei numeri e utilizzare idee come le relazioni di ortogonalità degli operatori di Pauli.
Problema.
In realtà ho già una prova concisa di questo risultato, essenzialmente usando nient'altro che relazioni di ortogonalità degli operatori di Pauli. Ma sospetto di aver già visto qualcosa del genere prima, e vorrei fare riferimento all'arte nota se posso (per non parlare di vedere se ci sono tecniche migliori di quella che ho usato, che sebbene non oneroso mi sono sentito meno che perfetto ).
Certamente gli articoli di Knill [quant-ph / 9608048] e [quant-ph / 9608049] considerano argomenti simili e usano tecniche simili; ma non sono riuscito a trovare il risultato che cercavo lì, o in [quant-ph / 9802007] di Gottesman . Spero che qualcuno possa indicarmi dove una tale prova avrebbe potuto essere stata pubblicata prima.
Nota : il risultato che sto prendendo in considerazione non è quello che mette in relazione la cardinalità del gruppo con la dimensione dello spazio stabilizzato (il che è bello, ma banale sia da provare che da trovare riferimenti); Mi preoccupo in particolare di mostrare che qualsiasi gruppo stabilizzatore che non può essere esteso stabilizza uno stato unico e viceversa. Un riferimento a una prova che qualsiasi gruppo di stabilizzatori massimi ha la stessa cardinalità andrebbe bene; ma ancora una volta, non deve fare affidamento sul fatto che d sia primo o ℤ d 2n come spazio vettoriale.