Analisi di palle e bidoni nel regime m >> n.

È noto che se lanci n palline in n bidoni, è molto probabile che il bidone più caricato contenga $O(\log n)$ palline. In generale, si può chiedere di palline in bidoni. Un articolo di RANDOM 1998 di Raab e Steger ne esplora alcuni dettagli, dimostrando che all'aumentare di , la probabilità di andare anche leggermente al di sopra del valore atteso di diminuisce rapidamente. All'incirca, impostando , mostrano che la probabilità di vedere più di $m > n$ $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ è $o(1)$ .

Questo articolo è stato pubblicato nel 1998 e non ho trovato nulla di più recente. Ci sono risultati nuovi e ancora più concentrati lungo queste linee o ci sono ragioni euristiche / formali per sospettare che questo sia il migliore che si possa ottenere? Vorrei aggiungere che un documento correlato sulla variante a scelta multipla scritto da Angelika Steger nel 2006 non cita alcun lavoro più recente.

Aggiornamento : in risposta al commento di Peter, vorrei chiarire le cose che vorrei sapere. Ho due obiettivi qui.

In primo luogo, ho bisogno di sapere quale riferimento citare, e sembra che questo sia il lavoro più recente su questo.
In secondo luogo, è vero che il risultato è abbastanza stretto nell'intervallo r = 1. Sono interessato alla gamma m >> n, e in particolare al regno in cui r potrebbe essere poly log n, o anche n ^ c. Sto cercando di inserire questo risultato in un lemma che sto dimostrando e il limite specifico su r controlla altre parti dell'algoritmo generale. Penso (ma non sono sicuro) che l'intervallo su r fornito da questo documento potrebbe essere sufficiente, ma volevo solo assicurarmi che non ci fosse un limite più stretto (che avrebbe prodotto un risultato migliore).

reference-request pr.probability

— Suresh Venkat
fonte

Ho imparato il nome "problema di occupazione" dal tag, quindi grazie per aver pubblicato una domanda educativa. :)

— Tsuyoshi Ito,

Guardando il documento di Raab e Steger, è difficile per me capire quali ulteriori risultati vorresti in questo senso. C'è una domanda specifica a cui devi conoscere la risposta? In tal caso, dovresti chiederlo, qui o su MathOverflow. In particolare, se

r = m / n

$r=m/n$ , Raab e Steger danno un limite stretto di

dove

è la costante corretta.

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— Peter Shor,

@Peter modificherò la domanda: è un punto valido.

— Suresh Venkat,

Non proprio una risposta completa (né un riferimento utile), ma solo un commento piuttosto esteso. Per ogni dato cestino, la probabilità di avere esattamente sfere nel cestino sarà data da $B$ . Possiamo usare una disuguaglianza dovuta a Sondow, $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ , per ottenere $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ , dove $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ . Si noti che questo limite è abbastanza stretto, poiché a $r=\frac{m}{B}-1$ . $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

Quindi abbiamo . Ora, poiché sei interessato alla probabilità di trovare $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ o più palline in un cestino, possiamo considerare $B$ . Riorganizzando i termini, otteniamo $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} Σ_{B = 0}^{m - B} e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

Nota che la somma sopra è semplicemente una serie geometrica, quindi possiamo semplificare questo per dare Se riscriviamo

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$

termini usando esponenziali, otteniamo

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$

che diventa quindi

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

$B$ $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ $C$ $B$ $C$

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$ which can be rewritten as

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

I'm not entirely sure how useful this comment will be to you (it's entirely possible I've made a mistake somewhere), but hopefully it can be of some use.

— Joe Fitzsimons
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this is pretty awesome. thanks for the outline.

— Suresh Venkat,

@Suresh: Glad it's useful.

— Joe Fitzsimons