Grafici regolari e isomorfismo


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Vorrei chiedere se esiste un risultato già pubblicato al riguardo:

Prendiamo tutti i possibili percorsi diversi tra ciascuna coppia di nodi di due grafici regolari collegati (con grado diciamo e numero di nodi ) e annotiamo le loro lunghezze. Naturalmente questo numero di percorsi distinti è esponenziale. La mia domanda è, se ordiniamo le lunghezze e le confrontiamo (le liste ottenute dai due grafici) e sono esattamente le stesse, possiamo dire che i due grafici sono isomorfi?dn

Naturalmente, anche se questo è un risultato, non possiamo usarlo per rispondere all'isomorfismo grafico, poiché il numero di percorsi distinti è esponenziale, come detto

Per percorsi distinti , mi riferisco a percorsi che hanno almeno un nodo diverso, ovviamente.

Grazie a priori per il tuo aiuto.


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nei grafici a 2 regolari c'è un numero molto piccolo di percorsi diversi, poiché un grafico a 2 regolari è un'unione disgiunta di cicli. Quindi hai 2 o 0 percorsi tra ogni coppia di vertici.
Nathann Cohen,

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Questa domanda, sebbene interessante, mi sembra più adatta a MathOverflow .
Niel de Beaudrap,

Risposte:


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Credo che la risposta alla tua domanda sia "no" perché una condizione equivalente implicherebbe una soluzione temporale polinomiale all'IG.

Per , la matrice di adiacenza del grafico G , si noti che il numero di percorsi da i a j di lunghezza k è ( A k ) i , j (con la ripetizione di vertici e bordi consentiti). Per due grafici G 1 e G 2 (con matrici di adiacenza A 1 e A 2 ) e k 1 , se hai ordinato gli elementi di A k 1 e A k 2, allora perUNGijk(Ak)i,jG1G2A1A2k1A1kA2k per essere isomorfo a G 2 , è una condizione necessaria che gli elenchi siano identici per tutti i k .G1G2k

Credo che la tua congettura equivalga a:

Se gli elenchi ordinati di elementi di e A d 2 sono identici per k = 1 a n - 1 (limite superiore sul percorso più lungo con vertici non ripetitivi), G 1 e G 2 sono isomorfi.A1kA2dk=1n1G1G2

Quindi, per risolvere il problema gastrointestinale, basta eseguire moltiplicazioni di n × n matrici (e un po 'di tempo in più per ordinare e confrontare n 2 elementi). Ciò richiederebbe meno di n 4 volte.n1n×nn2n4

Ammetto due possibili difetti nella mia tesi. Primo, è del tutto possibile che GI abbia un algoritmo temporale polinomiale e che l'abbiamo appena scoperto insieme, proprio ora (evviva, siamo famosi!). Lo trovo altamente improbabile. Secondo (e molto più probabile), ciò che ho proposto non è in realtà equivalente alla tua congettura.

Pensiero finale. Hai provato questo per tutti, diciamo, grafici 3-regolari per dimensione 8 o giù di lì? Penserei che se la tua congettura è falsa, dovrebbe esserci un contro esempio in grafici a 3 regolari di dimensioni abbastanza piccole.


Non sapevo che il numero di percorsi distinti da i a j di lunghezza k è . Se è così, e se sto capendo bene cosa stai facendo, allora la mia ipotesi iniziale ha una risposta. (UNK)io,j
N27,

@ N27: può essere provato usando la definizione di moltiplicazione e induzione della matrice.
Tomek Tarczynski,

Sì, facilmente, in effetti ...
N27,

Ah, sembra che ancora una volta la mia intuizione mi abbia portato fuori strada. Il conteggio del numero di percorsi semplici distinti in un grafico (o anche solo tra 2 nodi) è # P-completo. Quindi il mio argomento è sbagliato perché dice che un algoritmo temporale polinomiale equivale a contare percorsi semplici. Ora sono anche completamente incerto se la tua congettura è corretta o meno. Tuttavia, è un po 'controverso perché non è probabile che tu scelga di risolvere un problema # P-completo su IG.
bbejot,

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Dato che stai solo confrontando le lunghezze dei percorsi (e nel frattempo dimenticando a quale coppia di nodi corrispondono se ti ho capito bene), penso che grafici molto simili dovrebbero fornire un controesempio: alla fine stai solo contando il numero di percorsi di una lunghezza fissa e indipendentemente dai vertici che collegano. Ad esempio, penso che questi grafici siano un controesempio: http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/markus/REGGRAPHS/GIF/06_3_3-2.gif e http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/ Markus / REGGRAPHS / GIF / 06_3_3-1.gif

Se non sbaglio (contando i percorsi è noioso), entrambi hanno 9 percorsi di lunghezza 1, 18 percorsi di lunghezza 2, 48 percorsi di lunghezza 3, 30 percorsi di lunghezza 4 e 36 percorsi di lunghezza 5


Conto 36 percorsi di lunghezza 3 nel primo grafico e 30 grafici di lunghezza 3 nel secondo grafico. Il problema è che il secondo grafico ha cicli di lunghezza 3, mentre il primo grafico no. Sono comunque d'accordo sul fatto che dovrebbe esserci un grafico relativamente piccolo come controesempio. Non ne ho ancora trovato uno, però.
bbejot,

Sono d'accordo con te, scrivere un programma per testare tutti i piccoli grafici darebbe probabilmente una risposta rapida.
Arnaud,

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000010011011010001001101011001110000

in tutti questi grafici lambda = mu
trg787,

sono le 3 coppie più semplici (non isomorfe)
trg787,

1
Cos'è quello?!! e come fai a sapere che esiste almeno un percorso diverso?
N27,

Voglio dire, come fai a sapere che gli elenchi di tutti i possibili percorsi tra ogni coppia di nodi sono identici?
N27,

1
Ad ogni modo, scusa, non capisco cosa hai provato o cercando di dire ... La mia domanda era se le 2 liste di tutte le lunghezze di percorsi distinti tra tutte le coppie di nodi NON fossero le stesse per 2 grafici non isomorfi.
N27,
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