Credo che la risposta alla tua domanda sia "no" perché una condizione equivalente implicherebbe una soluzione temporale polinomiale all'IG.
Per , la matrice di adiacenza del grafico G , si noti che il numero di percorsi da i a j di lunghezza k è ( A k ) i , j (con la ripetizione di vertici e bordi consentiti). Per due grafici G 1 e G 2 (con matrici di adiacenza A 1 e A 2 ) e k ≥ 1 , se hai ordinato gli elementi di A k 1 e A k 2, allora perAGijk(Ak)i,jG1G2A1A2k≥1Ak1Ak2 per essere isomorfo a G 2 , è una condizione necessaria che gli elenchi siano identici per tutti i k .G1G2k
Credo che la tua congettura equivalga a:
Se gli elenchi ordinati di elementi di e A d 2 sono identici per k = 1 a n - 1 (limite superiore sul percorso più lungo con vertici non ripetitivi), G 1 e G 2 sono isomorfi.Ak1Ad2k=1n−1G1G2
Quindi, per risolvere il problema gastrointestinale, basta eseguire moltiplicazioni di n × n matrici (e un po 'di tempo in più per ordinare e confrontare n 2 elementi). Ciò richiederebbe meno di n 4 volte.n−1n×nn2n4
Ammetto due possibili difetti nella mia tesi. Primo, è del tutto possibile che GI abbia un algoritmo temporale polinomiale e che l'abbiamo appena scoperto insieme, proprio ora (evviva, siamo famosi!). Lo trovo altamente improbabile. Secondo (e molto più probabile), ciò che ho proposto non è in realtà equivalente alla tua congettura.
Pensiero finale. Hai provato questo per tutti, diciamo, grafici 3-regolari per dimensione 8 o giù di lì? Penserei che se la tua congettura è falsa, dovrebbe esserci un contro esempio in grafici a 3 regolari di dimensioni abbastanza piccole.