Mi rendo conto che questo potrebbe non rispondere direttamente alla tua domanda (sui riferimenti), ma vorrei delineare un possibile approccio per mostrare la durezza NP senza la condizione 2-connessa. Ci sono due cose che mancano: una è una prova della durezza NP del "problema alla fonte", per così dire, e l'altra è che sto riducendo a una versione "colorata" di H-cut che può o potrebbe non essere utile. Per quanto riguarda il primo collo di bottiglia, credo di avere una prova nella mia mente che sono pigro per la formalizzazione, quindi spero di poterci aggirare presto. Ho pensato di ridurre la versione colorata a quella che presenti, tuttavia, con poca fortuna finora. Sono anche molto curioso della tua prova nel caso in cui H sia 2-connesso, potresti fornire qualche dettaglio?
Quindi la versione colorata è la seguente: ogni vertice nel grafico è dotato di un elenco di colori da una tavolozza P (un insieme fisso e finito). Ci viene richiesto di trovare un taglio in modo che nessuna partizione induca una copia monocromatica di H, ovvero non esiste un sottoinsieme di | H | vertici che inducono una copia di H e l'elenco di colori corrispondente ha un'intersezione non vuota.
Ecco una riduzione da una variante limitata di d-SAT, dove d è | H |. (Notare che ovviamente non funzionerebbe quando d = 2).
La variante limitata di d-SAT è la seguente:
Ogni clausola ha solo letterali positivi o solo negativi, lasciatemi fare riferimento a clausole come rispettivamente P-clausole e N-clausole,
Ogni clausola P può essere accoppiata con una clausola N in modo tale che le due clausole comportino lo stesso insieme di variabili.
(Ho qualche idea del perché questa versione apparentemente limitata potrebbe essere difficile - una restrizione strettamente correlata è difficile, e posso immaginare una riduzione da lì, anche se potrei facilmente sbagliarmi!)
Dato questo problema, la riduzione forse suggerisce se stessa. Il grafico ha un vertice per ogni variabile della formula. Per ogni clausola C_i, indurre una copia di H sull'insieme di variabili che partecipano alla clausola e aggiungere il colore i a questo insieme di vertici. Questo completa la costruzione.
Ogni incarico corrisponde naturalmente a un taglio:
L = set di tutte le variabili impostate su 0, R = set di tutte le variabili impostate su 1.
L'affermazione è che un incarico soddisfacente corrisponde ad un taglio monocromatico privo di H.
In altre parole, (L, R), se dato da un incarico soddisfacente, sarebbe tale che né L né R inducano una copia monocromatica di H. Se L ha una copia del genere, si noti che la clausola P corrispondente deve aver avuto tutte le sue variabili sono impostate su 0, il che contraddice il fatto che l'assegnazione è stata soddisfacente. Al contrario, se R ha una copia del genere, la clausola N corrispondente deve avere tutte le sue variabili impostate su 1, di nuovo in contraddizione.
Al contrario, considera qualsiasi taglio e imposta le variabili su un lato su 1 e sull'altro su 0 (nota che non importa in che modo lo fai - dato il tipo di formula con cui stiamo lavorando, un compito ed è capovolto la versione è equivalente per quanto riguarda la soddisfacibilità). Se una clausola non è soddisfatta da questo incarico, allora possiamo rintracciarla in una copia monocromatica di H su uno dei lati, in contraddizione con il carattere monocromatico-H del taglio.
Il motivo per cui bisogna indulgere nella colorazione è perché le copie di H possono interferire per creare copie spurie di H che non corrispondono alle clausole, in un tentativo di riduzione diretta. In effetti, fallisce - malamente - anche quando H è qualcosa di semplice come un percorso.
Non ho avuto fortuna nel liberarmi dei colori e non sono sicuro di aver reso il problema ancora più semplice. Tuttavia, spero che, se corretto, potrebbe essere un inizio.