Complessità delle proprietà topologiche.

Sono uno scienziato informatico che frequenta un corso di topologia (una spolverata di topologia a punti fortemente influenzata dalla teoria del continuum). Mi sono interessato a problemi di decisione testando una descrizione di uno spazio (per mezzo di semplici) per proprietà topologiche; quelli preservati fino all'omeomorfismo.

È noto, ad esempio, che determinare il genere di un nodo è in PSPACE ed è NP-Hard. (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

Altri risultati hanno più un aspetto più generale: AA Markov (il figlio della Markov) ha mostrato nel 1958 che testare due spazi per un omeomorfismo nelle dimensioni o superiore è indecidibile (mostrando l'indecidibilit'a 4-varietà). Sfortunatamente, questo ultimo esempio non è un perfetto esempio della mia domanda, poiché affronta il problema dell'omeomorfia stesso piuttosto che le proprietà conservate sotto l'omeomorfismo.$5$

Sembra esserci una grande mole di lavoro nella "topologia a bassa dimensione": teoria dei nodi e dei grafi. Sono decisamente interessato ai risultati della topologia a bassa dimensione, ma sono più interessato ai risultati generalizzati (questi sembrano essere rari).

Sono più interessato ai problemi che sono NP-Hard in media, ma mi sento incoraggiato a elencare problemi che non si sa essere così.

Quali risultati sono noti sulla complessità computazionale delle proprietà topologiche?

La topologia computazionale comprende un enorme corpus di ricerche. Un riepilogo completo di ogni risultato di complessità sarebbe impossibile. Ma per darti un piccolo assaggio, lasciami espandere il tuo esempio.

$O(n)$

Nel 1950, Turing dimostrò che la parola problema nei semigruppi presentati in modo finito è indecidibile, per riduzione del problema di arresto (sorpresa, sorpresa).

Basandosi sul risultato di Turing, Markov dimostrò nel 1951 che ogni proprietà non banale dei semigruppi presentati in modo finito è indecidibile. Una proprietà di gruppi non è banale se un gruppo ha la proprietà e altri no. Gli informatici teorici conoscono il risultato simile sulle funzioni parziali come "Teorema di Rice".

Nel 1952 Novikov dimostrò che la parola problema nei gruppi finiti era indecidibile, dimostrando così che l'intuizione di Dehn era corretta. Lo stesso risultato fu dimostrato in modo indipendente da Boone nel 1954 e Britton nel 1958.

Nel 1955, Adyan dimostrato che ogni proprietà non banale di finitamente-presentati gruppi è indecidibile. Lo stesso risultato fu dimostrato indipendentemente da Rabin nel 1956. (Sì, quel Rabin.)

Alla fine, nel 1958, Markov descrisse algoritmi per costruire complessi cellulari bidimensionali e varietà quadridimensionali con qualsiasi gruppo fondamentale desiderato, data la presentazione del gruppo come input. Questo risultato implica immediatamente che un numero enorme di problemi topologici è indecidibile, tra cui:

• Un dato ciclo in un dato complesso bidimensionale è contrattabile? (Questa è la parola problema.)
• Un dato complesso 2 è semplicemente connesso? ("Questo gruppo è banale?")
• È possibile contrattare un determinato ciclo in un dato quadruplo a 4 varietà?
• È possibile contrattare un dato 4 varietà?
• Un dato omeomorfo a 4 varietà è un particolare a 4 varietà (costruito da Markov)?
• Un dato 5 collettore è omeomorfo rispetto alla 5 sfera (o qualsiasi altro 5 collettore fisso scelto)?
• Un dato 6 complesso è una varietà?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

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e su Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology