Esiste una teoria della complessità analoga al teorema di Rice nella teoria della calcolabilità?

Il teorema di Rice afferma che ogni proprietà non banale dell'insieme riconosciuta da qualche macchina di Turing è indecidibile.

Sto cercando un teorema di tipo Rice-teorico della complessità che ci dice quali proprietà non banali degli insiemi NP sono intrattabili.

Provare una versione teorica di tale complessità del teorema di Rice è stata una motivazione per me studiare l'offuscamento del programma.

Il teorema di Rice dice in sostanza che è difficile comprendere le funzioni calcolate dai programmi, dato il programma. Tuttavia, la ragione per cui questi problemi sono indecifrabili è che sono infiniti. Anche su un ingresso, un programma potrebbe non arrestarsi mai, e dobbiamo considerare cosa fa il programma su infiniti ingressi.

Una versione definitiva del teorema di Rice fisserebbe le dimensioni di input e il tempo di esecuzione di un programma, e direbbe che il programma è difficile da capire. Una volta risolti questi problemi, potresti anche visualizzare il programma come un circuito booleano. Quali proprietà della funzione calcolata da un circuito booleano sono difficili da calcolare? Un esempio è `` non sempre 0 '', ovvero i problemi di soddisfazione NP-complete. Ma a differenza del teorema di Rice, ci sono alcune proprietà non banali ma facili, anche senza comprendere il circuito. Possiamo sempre saperlo: la funzione calcolata da un circuito ha una complessità del circuito limitata (la dimensione del circuito). Inoltre, possiamo sempre valutare il circuito sugli ingressi di nostra scelta.

$f_C$$n$$|C|$$f_C$$n$$x$$x$$f(0..0)=1$$f_C$

Mentre questa domanda è aperta per quanto ne so, il nostro approccio previsto è stato escluso. Avevamo sperato di dimostrarlo dimostrando che l'offuscamento del programma crittograficamente sicuro era possibile. Tuttavia, Boaz ha dimostrato il contrario: che era impossibile. Ciò mostra implicitamente che l'accesso in black box ai circuiti è più limitato del pieno accesso alla descrizione del circuito, ma la dimostrazione non è costruttiva, quindi non posso nominare alcuna proprietà come sopra che sia facile dato la descrizione del circuito ma non con il nero -accesso box. È interessante (almeno per me) se una simile proprietà possa essere decodificata dal nostro documento.

Ecco il riferimento: Boaz Barak, Oded Goldreich, Russell Impagliazzo, Steven Rudich, Amit Sahai, Salil P. Vadhan, Ke Yang: Sulla possibilità (im) di programmi offuscati. CRYPTO 2001: 1-18

Ci sono stati diversi teoremi di questo tipo dimostrati nel corso degli anni. Più recentemente, ci sono stati sforzi per stabilire teoremi di tipo "Rice" per problemi sui circuiti. (È naturale sostituire "macchine" con "circuiti". Una volta fatto, il numero totale di ingressi possibili viene fissato, quindi non si verificano problemi di indecidibilità.) Due riferimenti:

Bernd Borchert, Frank Stephan: alla ricerca di un analogo del teorema di Rice nella teoria della complessità dei circuiti. Matematica. Log. Q. 46 (4): 489-504 (2000)

Lane A. Hemaspaandra, Jörg Rothe: un secondo passo verso analoghi teorici della complessità del teorema di Rice. Theor. Comput. Sci. 244 (1-2): 205-217 (2000)

Ecco un risultato di esempio: "Ogni proprietà di conteggio non vuota dei circuiti è UP-hard." Puoi leggere i documenti per le definizioni, ma ciò significa approssimativamente che qualsiasi proprietà che dipende dal numero di assegnazioni soddisfacenti a un circuito è difficile per la classe UP (quindi intrattabile).

C'è anche un lavoro più vecchio su versioni teoriche della complessità del teorema di Rice, in una vena diversa. Non ne ho familiarità, ma i documenti sopra citati li citano.

$NP$$NP$$NP$