Incorporare un grafico come una raccolta di tetraedri interni-disgiunti

Definisci una mesh in 3D come una raccolta connessa di tetraedri con interni disgiunti (quindi i tetraedri condividono solo k-facce, ). Dato un grafico arbitrario, esiste una procedura efficiente per verificare se può essere incorporato come mesh? $k \le 2$

Qui, un incorporamento è una mappatura dei vertici del grafico ai punti in e dai bordi alle linee rette in modo tale che i bordi si intersecino solo ai vertici e le facce si intersecano solo ai bordi e non vi siano due facce che si intersecano al loro interno. $R^3$

ds.algorithms graph-theory

— Suresh Venkat
fonte

Intendi linee o segmenti di linea? Per favore chiarisci i due tipi di bordi: le facce sono nel tetraedro e i bordi che hai citato sono nel grafico ... Devi anche che tutti i bordi tetraedrici siano bordi del grafico, o incorporerò qualsiasi grafico nel grafico completo Ricevo dai punti sulla curva del momento.

— Jack,

Intendo segmenti di linea, e sì tutti i bordi tetraedrici sono bordi grafici. Non sono sicuro di capire cosa intendi per "due tipi" di bordi.

— Suresh Venkat,

Intendi "

è lo scheletro 1 di una mesh?" o "

è un sottografo dello scheletro 1 di una mesh?" o qualcos'altro? Da dove vengono le facce di dimensione superiore?

G

$G$

G

$G$

— Jeffε

@ Jɛ ﬀ E Penso che sulla base della fonte della domanda, il rendering corretto della domanda dovrebbe essere "Is G the 1-skeleton of a mesh". Ma sarei anche interessato al caso in cui G è un sottografo dello scheletro 1. Pertanto, le facce di dimensione superiore non fanno parte di G, ma il requisito che l'incorporamento sia una mesh valida vincola G. Spero che abbia senso.

— Suresh Venkat,

In Durezza dell'incorporamento di complessi simpliciali in $\mathbb{R}^d$ si afferma che è difficile almeno quanto riconoscere una 3-sfera, che è nota per essere in NP, ma non nota per essere in P. Continuano a dire che per quanto ne sappiamo, il problema potrebbe essere indecidibile. $\mbox{EMBED}_{3\rightarrow3}$

EDIT: aggiornamento. In realtà, la mia risposta si applica agli incorporamenti PL. Per gli incorporamenti lineari il problema è noto in PSPACE. Non so se si sa qualcos'altro.

— Shaun Harker
fonte

Ah, un buon riferimento. Devo risolverlo un po 'più attentamente poiché la loro nozione di incorporamenti in PL potrebbe essere un po' più debole di quella che voglio (che è quello che chiamano un incorporamento 'lineare'.

— Suresh Venkat,

Oh, capisco. Non ho colto quella sfumatura. Darn. Bene, spero sia comunque utile :)

— Shaun Harker,