Lascia che G sia un albero su 2n vertici. La larghezza dell'albero di G, tw (G) = 1. Ora supponiamo di aggiungere n bordi a G per ottenere un grafico H. Un limite superiore facile su tw (H) è n + 1. È essenzialmente il migliore possibile?
Sembra in qualche modo che tw (H) dovrebbe essere O (sqrt (n)), ma questo è solo un vago sospetto. Conosciamo meglio i limiti superiori di O (n) per la larghezza dell'albero di un grafico ottenuto aggiungendo n bordi a un albero su vertici 2n?
Risposte:
Il tuo modello non è in realtà meno generale rispetto a chiedere grafici 3-regolari arbitrari e i grafici di espansione 3-regolari hanno una larghezza lineare degli alberi. Quindi non conosco i fattori costanti, ma Θ (n) è il migliore possibile, sì.
Come ha sottolineato David, in pratica chiedete limiti sulla larghezza dell'albero di un grafico collegato con un grado medio 3. Per il caso più speciale di grafici a 3 regolari, è possibile ottenere i seguenti limiti inferiore e superiore. Indicando con pw (G) la larghezza del percorso di un grafico G, è chiaro che
(1) tw (G) <= pw (G) per qualsiasi grafico G (poiché una decomposizione del percorso è una decomposizione dell'albero)
È dimostrato in [1] che
(2) Per ogni \ epsilon> 0, esiste un numero intero n_0 tale che per qualsiasi grafico 3-regolare G su n> = n_0 vertici, pw (G) <= n / 6 + \ epsilon * n.
Questo ti dà un limite superiore di circa n / 6 sull'ampiezza dell'albero di grafici a 3 regolari.
Per un limite inferiore quasi sicuro, cito da [2]:
"Dato che i grafici cubici casuali hanno quasi sicuramente una larghezza di taglio di almeno 0,101 n (Kostochka, Melnikov, 1992), quasi sicuramente non hanno un separatore di dimensioni inferiori a n / 20" e quindi quasi sicuramente nessuna decomposizione dell'albero di larghezza inferiore a n / 20 .
Per un limite inferiore "sicuro" sulla larghezza della sezione, [3] ha mostrato una famiglia infinita di grafici a 3 regolari, in modo tale che ciascun grafico G = (V, E) in questa famiglia abbia una larghezza della sezione di almeno 0,082 * | V |.
[1] Fedor V. Fomin, Kjartan Høie: larghezza dei grafici cubici e algoritmi esatti. Inf. Processi. Lett. 97 (5): 191-196 (2006)
[2] Jaroslav Nesetril, Patrice Ossona de Mendez: Grad e classi con espansione limitata II. Aspetti algoritmici. Euro. J. Comb. 29 (3): 777-791 (2008)
[3] Sergei L. Bezrukov, Robert Elsässer, Burkhard Monien, Robert Preis, Jean-Pierre Tillich: nuovi limiti inferiori spettrali sull'ampiezza della sezione dei grafici. Theor. Comput. Sci. 320 (2-3): 155-174 (2004)