Posso limitare la cardinalità di un set se il test per l'adesione è noto come NP-completo?

Vorrei avere un limite alla cardinalità dell'insieme dei grafici del disco dell'unità con vertici. È noto che verificare se un grafico è un membro di questo set è NP-difficile. Questo porta a qualche limite inferiore sulla cardinalità, assumendo P NP? $N$ $\neq$

Ad esempio, supponiamo che ci sia un ordinamento su tutti i grafici con vertici. La durezza NP implicherebbe quindi che la cardinalità superi i , in quanto altrimenti potresti testare l'appartenenza al tempo polinomiale facendo una ricerca binaria attraverso il set? Penso che questo presupponga che tu abbia in qualche modo memorizzato il set in memoria ... È permesso? $N$ $2^N$

Definizione: un grafico è un grafico del disco di unità se ogni vertice può essere associato a un disco di unità nel piano, in modo tale che i vertici siano collegati ogni volta che i loro dischi si intersecano.

Ecco un riferimento sulla durezza NP dei test di appartenenza per i grafici dei dischi di unità: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— David Choi
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Mi chiedo, c'è un esempio in cui questa tecnica fornisce il limite inferiore più noto sulla dimensione di un set? Sarebbe una bella applicazione combinatoria indiretta della teoria della complessità.

— Sasho Nikolov,

Grazie per la tua gentile assistenza. Entrambe le risposte sono state utili e perspicaci; Avrei accettato l'uno o l'altro in assenza dell'altro.

— David Choi,

Risposte:

Non sono sicuro se stai ponendo questa domanda per la tecnica o per la risposta, ma c'è un articolo recente di McDiarmid e Mueller in cui mostrano che il numero di grafici (etichettati) di unità disco su vertici è ; vedi http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf . $n$ $2^{(2 + o(1))n}$

— Bart Jansen
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Il teorema di Mahaney afferma che esistono insiemi completi di NP completi se P = NP. Pertanto, supponendo che implichi un limite inferiore super polinomiale sul numero di istanze di dimensione in insiemi completi di , per infinitamente molti . Cioè, se , allora qualsiasi set -complete deve avere qualche tale che per infinitamente molti numeri interi , il set contiene almeno stringhe di lunghezza . $P \neq NP$ $n$ $NP$ $n$ $P \neq NP$ $NP$ $\epsilon \gt 0$ $n\ge 0$ $2^{n^{\epsilon}}$ $n$

$2^{n^{\epsilon}}$

[1] H. Buhrman e JM Hitchcock, NP-Hard Set sono esponenzialmente densi a meno che coNP ⊆ NP / poly, nella conferenza IEEE sulla complessità computazionale, pagine 1-7, 2008

[2] Eric Allender, Rapporto sullo stato della domanda P contro NP, Progressi nei computer, Volume 77, 2009, Pagine 117-147

— Mohammad Al-Turkistany
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[Mah82] SR Mahaney. Set completi sparsi per NP: Soluzione di una congettura di Berman e Hartmanis , Journal of Computer and System Sciences 25: 130-143, 1982.

— Marzio De Biasi

n

$n$

n

$n$

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$

Grazie András, il tuo commento è incorporato nella risposta.

— Mohammad Al-Turkistany,

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$