Costi di esecuzione ca. ricerca del vicino più vicino in un quadrifoglio saltato

NOTA : la domanda è stata ribadita nelle mie risposte: supponendo ora che possiamo trovare gli antenati fratelli più bassi in tempo, l'ANN può davvero essere eseguita in O ( log n ) ?$O(1)$$O(\log n)$

I quadrifici sono indici spaziali efficienti. Ho un enigma con l'implementazione di una ricerca del vicino più vicino in una struttura quadrata compressa come descritto in [2]. (Senza entrare nei dettagli, la ricerca sta andando dall'alto verso il basso lungo i cosiddetti quadrati equidistanti, che termina nel nodo di coda di un percorso equidistante. Nell'immagine allegata questo potrebbe essere uno qualsiasi dei nodi nel sud-est pieno di punti.)

Affinché il loro algoritmo funzioni, è necessario mantenere per ciascun nodo - un quadrato con almeno due quadranti non vuoti - puntatori per ciascun nodo antenato più basso (più vicino nella gerarchia) in ciascuna delle quattro direzioni (nord, ovest, sud , est). Questi sono indicati dalle frecce verdi per l'antenato verso ovest dei nodi (la freccia punta al centro della piazza degli antenati).

L'articolo afferma che questi puntatori possono essere aggiornati in O (1) durante l'inserimento e l'eliminazione di punti. Tuttavia, quando si osserva l'inserimento del punto verde, sembra che sia necessario aggiornare qualsiasi numero arbitrario di puntatori, in questo caso sei.

Spero in un trucco per fare questo aggiornamento del puntatore in tempo costante. Forse esiste una forma di riferimento indiretto che può essere sfruttata?

MODIFICARE:

La relativa sezione della carta è 6,3, dove si legge: "se il percorso ha curve, quindi oltre al antenati bassi di q , dovremmo anche considerare per ciascuno dei 2 d indicazioni the antenato più basso di q che va in quella direzione [...] Trovare questi quadrati da q può essere fatto in O ( 1 ) tempo per quadrato se associamo ulteriori 2 d puntatori a ciascun quadrato in Q $log(c/ε)$$q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$indicando i suoi antenati più vicini per ogni direzione. Questi puntatori possono anche essere aggiornati in tempo durante l'inserimento o l'eliminazione di un punto. "$O(1)$

[2]: Eppstein, D. e Goodrich, MT e Sun, JZ, "The Skip Quadtree: una struttura dati dinamica semplice per dati multidimensionali", in Atti del ventunesimo simposio annuale sulla geometria computazionale, pagg. 296—305 , 2005.

Come David, non so perché Jonathan abbia fatto quell'osservazione sui 2 ° d puntatori. Non sono necessari. Come ha detto David sopra, la proprietà essenziale è che quando stiamo eseguendo una posizione di punto su una foglia v in Q_0, è sufficiente ricordare i nodi fratelli (e le loro caselle) nel quadratino salta. Quando elaboriamo una casella da P, facciamo una posizione del punto per la casella foglia più vicina al nostro punto di query, inserendo le caselle di pari livello mentre scendiamo. Sembra che questo sarebbe più o meno lo stesso della tua risposta. Inoltre, questa procedura è molto simile, ad esempio, a come viene eseguita la posizione approssimativa del punto nel seguente documento: Arya, Sunil and Mount, David M. e Netanyahu, Nathan S. e Silverman, Ruth e Wu, Angela Y., "Un algoritmo ottimale per il vicino più prossimo approssimativo che cerca dimensioni fisse", JACM, 1998. In effetti,

Si può pensare a saltare quadtree come un'implementazione skip-list di una struttura di dati che memorizza i punti secondo il loro ordine z. È (probabilmente) almeno concettualmente più semplice ...

Vedi il capitolo 2 qui: http://goo.gl/pLiEO .

E sì, supponendo che tu possa eseguire alcune operazioni di base di ordine z in tempo costante, puoi sicuramente fare ANN in tempo logaritmico. Il capitolo sopra menzionato mostra anche che non c'è modo di evitare operazioni bizzarre se si vogliono quadrifici compressi. Si noti che l'operazione LCA non è necessaria ...

Sento anche intuitivamente che si potrebbe vivere senza quei puntatori, e dato che ho bisogno di perseverare tutti i nodi sul disco fisso ad un certo punto, qualsiasi riduzione dei puntatori è grande.

$l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

$P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$$q$$q$$v$

${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

$q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

$r_{max}$$P$

EDIT (aprile 2013)

$r_{max}$

$O(\sqrt n)$

$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

$\epsilon = 1$$v$

$Q_0$

$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

Quindi, a meno che non mi manchi qualcosa di cruciale, l'algoritmo non può raggiungere la velocità dichiarata. Hai commenti o idee?