Un semplice (?) Divertente problema combinatorio!

Risolviamo e un numero intero . $0<E<1$ $t>0$

per qualsiasi e per qualsiasi vettore tale che $n$ $\bar{c} \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

Non so se lo statamento sia vero o falso. Penso che sia vero.

La mia intuizione deriva dall'osservazione che per i vettori $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ (con la proprietà desiderata sulla somma) abbiamo $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ ; in questo caso possiamo selezionare solo un sottoinsieme dall'insieme $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$ .

Negli altri casi possiamo creare un buon sottoinsieme (st la somma è maggiore di $E \times t$ ) usando le coordinate in $\{ i ~|~ c_i > E \}$ ma anche, forse, usando poche coordinate dall'insieme $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$ potremmo creare altri set buona!

Quindi, provalo o trova il bug! sperando che possa essere un gioco divertente per te!

Motivazione della domanda :

Supponiamo di avere una variabile casuale , una misura tipica di "quanta casualità" in è l'entropia min $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

In un certo senso intuitivo, l'entropia minima è il caso peggiore della famosa Shanrop Entropy (che è il caso medio ).

Siamo interessati a ridurre in basso l'entropia minima della variabile casuale cui è uniformemente distribuito sull'insieme . $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

Parlando vagamente se siamo fortunati possiamo catturare i frammenti di che hanno "buona entropia" e quindi se allora $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

Qual è la probabilità che siamo fortunati?

Il problema è ben studiato ed esiste molta letteratura, ad esempio vedi Lemma A.3. nella crittografia a chiave pubblica resiliente alle perdite nel modello di recupero limitato

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
fonte

Sono confuso dal termine . Dato che non è necessariamente un numero intero, come viene definito?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Dave Clarke,

Qual è la motivazione?

— Anthony Labarre,

@Dave Clarke, gli approcci standard sono di definirlo in termini di funzione gamma o (dato che è intero) come.

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— Peter Taylor,

I coefficienti binomiali possono essere generalizzati ad argomenti non integrali (la pagina di Wikipedia fornisce alcuni dettagli). In questo caso potrebbe non essere necessario: Nota che è sufficiente dimostrarlo nel caso estremo in cui la somma di uguale a (ovvero è la loro media).

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— Klaus Draeger,

@Dave: mi dispiace per la mia inesattezza, dal mio punto di vista puoi scegliere .

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— Antonio Fa

La congettura nel post non regge, ma la congettura più debole (rispetto al piano) menzionata nei commenti vale. In effetti, qualcosa di più forte tiene.

Lemma 1. La congettura nel post non regge. Cioè, c'è un'istanza che soddisfa le ipotesi date in cui

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

Prova. Considera l'istanza con , , e . Quindi . Per il lato sinistro, abbiamo perché qualsiasi sottoinsieme che non contiene entrambe le somme di 1 al massimo a 1,7, e ci sono solo due sottoinsiemi ( e ) contenenti entrambi 1. E il lato destro è $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

La congettura più debole suggerita nei commenti, vale a dire il limite sul pavimento, , regge. In effetti qualcosa di leggermente più forte tiene: $\lfloor E\, n \rfloor$

Lemma 2. Correzione , numeri interi e vettore con . Quindi $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

Prova. Consenti . Supponiamo che WLOG . (In caso contrario, ridimensionare e ogni di un fattore uniforme per renderlo tale. Ciò mantiene e non modifica né i sottoinsiemi si sommano almeno a né il limite inferiore desiderato sul numero di tali sottoinsiemi.) Supponiamo che WLOG (altrimenti il reclamo è banale). $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

Considera qualsiasi sottoinsieme di dimensione almeno , dove . Poiché e contiene tutti gli elementi, tranne al massimo (ognuno dei quali è al massimo 1), abbiamo , come desiderato. $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

Il numero di tali sottoinsiemi è $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ (usando ) $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

Ma (usando ), quindi l'ultima somma è almeno il limite inferiore desiderato sul numero di sottoinsiemi buoni. $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— Neal Young
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