Formula più breve per un CNF monotono a n termini

Una formula CNF monotona con m termini su n variabili ( ) è una formula della forma f ( x 1 , … , x n ) = ⋀ C i , dove ogni C i è un OR di un sottoinsieme delle variabili x 1 , … , x n e i varia da 1 a m .$x_1,\ldots,x_n$$f(x_1,\ldots,x_n) = \bigwedge C_i$$C_i$$x_1,\ldots,x_n$$i$$1$$m$

Ad esempio, è una formula CNF monotona con 2 termini su 4 variabili.$(x_1 \vee x_3 \vee x_4) \wedge (x_2 \vee x_4)$

Sto cercando la formula più breve (non necessariamente monotona, non necessariamente CNF, qualsiasi formula farà!) Sullo stesso insieme di variabili che rappresenta la stessa funzione di una determinata formula CNF monotona su n variabili con n termini. (Si noti che il numero di termini e variabili è lo stesso.)

Un modo ovvio per costruire una formula è espandere la definizione CNF data, che ci darà una formula di dimensione . (Definiamo la dimensione di una formula in modo che sia la lunghezza della formula quando viene scritta come una stringa.) Voglio sapere se questa è la costruzione generale più efficiente o se per ogni CNF monotono n-term esiste una formula di taglia o ( n. 2 ) .$O(n^2)$$o(n^2)$

Voglio solo sapere se questo è possibile, non mi interessa davvero un algoritmo. Se ciò non fosse possibile, una funzione che funge da controesempio sarebbe ottima. Sono anche apprezzati i suggerimenti su dove posso trovare una risposta in letteratura.

EDIT: sto aggiungendo un esempio per chiarire le cose.

$f = (x_1 \vee x_2) \wedge (x_1 \vee x_3) \wedge \ldots \wedge (x_1 \vee x_n)$$x_1 \vee (x_2 \wedge x_3 \wedge \ldots \wedge x_n)$

$\Omega(n^2/\log n)$$exp(n^2)$ $n$$n$$exp(s \log s)$$s$

$\log n$$O(n^2/\log n)$

Considera che per ogni CNF puoi calcolare l'insieme di implicati primi (di cui ogni minimo deve essere un sottoinsieme) prendendo la chiusura sotto risoluzione e applicando l'eliminazione della sotto-assunzione.

$F$$F$$F$

Certo, presumo che tu non voglia introdurre nuove variabili.

$n$$f$$n$