Perché è così difficile per un computer provare qualcosa?

Questa può essere considerata una domanda stupida. Non sono un esperto di informatica (e non sono nemmeno un esperto di matematica), quindi per favore scusami se pensi che le seguenti domande mostrino alcuni importanti presupposti errati.

Mentre ci sono piani per formalizzare l'ultimo teorema di Fermat (vedi questa presentazione ), non ho mai letto o sentito che un computer può dimostrare anche un teorema "semplice" come quello di Pitagora.

Perchè no? Qual è (/ sono) la principale difficoltà (/ i) dietro la creazione di una prova completamente autonoma da parte di un computer, aiutata solo da alcuni "assiomi incorporati"?

Una seconda domanda che vorrei porre è la seguente: perché siamo in grado di formalizzare molte prove, mentre al momento è impossibile per un computer dimostrare un teorema da solo? Perché è "più difficile"?

Mentre ci sono piani per formalizzare l'ultimo teorema di Fermat (vedi questa presentazione), non ho mai letto o sentito che un computer può dimostrare anche un "semplice" teorema come quello di Pitagora.

Nel 1949 Tarski dimostrò che quasi tutto in The Elements giace all'interno di un frammento di logica decidibile, quando mostrò la decidibilità della teoria del primo ordine dei campi reali chiusi. Quindi il teorema di Pitagora in particolare non è molto parlato perché non è particolarmente difficile.

In generale, la cosa che rende difficile il teorema è l'induzione. Logica del primo ordine senza induzione ha una proprietà molto utile chiamato la proprietà sottoformula: vere formule hanno le prove che coinvolgono solo le sottotermini di . Ciò significa che è possibile costruire dimostratori di teoremi che possono decidere cosa provare dopo sulla base di un'analisi del teorema che devono dimostrare. (L'istanza di quantificatore può rendere la nozione corretta di sottformula un po 'più sottile, ma abbiamo tecniche ragionevoli per far fronte a questo.)$A$$A$

Tuttavia, l'aggiunta dello schema di induzione agli assiomi rompe questa proprietà. L'unica prova di una vera formula può richiedere di fare una prova che non è sintatticamente un sottoformula di . Quando ci imbattiamo in questo in una prova cartacea, diciamo che dobbiamo "rafforzare l'ipotesi dell'induzione". Questo è abbastanza difficile da fare per un computer, perché il rafforzamento appropriato può richiedere sia informazioni specifiche specifiche del dominio, sia una comprensione del perché stai dimostrando un teorema particolare. Senza queste informazioni, generalizzazioni veramente rilevanti possono perdersi in una foresta di quelle irrilevanti.$A$$B$$A$

Due difficoltà principali. Incompletezza (vedere i teoremi di incompletezza di Gödel) e la vasta dimensione dello spazio di ricerca (ci sono teoremi di gran lunga più poco interessanti di quelli interessanti). Sono stati compiuti notevoli progressi utilizzando gli assistenti di correzione ( Coq , Isabelle, Agda, ecc.). Con questi il ​​matematico scrive i teoremi e i lemmi e l'assistente prove aiuta a trovare le prove e assicura che le prove siano logicamente valide.

Un modo semplice di un computer potrebbe rivelarsi un nuovo teorema è quello di prendere due teoremi esistenti, e e combinare loro di fare il teorema . Naturalmente, se la procedura di ricerca è più intelligente, puoi scoprire cose più intelligenti, ma per trovare qualcosa di veramente interessante e originale richiederebbe molti trucchi e tecniche intelligenti da parte del programmatore. I teoremi di incompletezza di Gödel sono rilevanti qui perché pongono un limite fondamentale a ciò che può essere scoperto all'interno di qualsiasi sistema di prova: un computer non potrebbe mai scoprire la prova della coerenza della propria logica.$P$$Q$$P\wedge Q$

Questo documento descrive come viene utilizzato l'assistente di prova Coq per dimostrare il teorema dei quattro colori. La matematica meccanizzata ( panoramica ) è un'area del TCS dedicata ai teoremi (semi) di prova automatica (e in generale all'uso dei computer per aiutare i matematici).

Un'area in cui la dimostrazione del teorema automatizzato (di sorta) sta avendo un impatto è nella verifica dei modelli e nella ricerca dei modelli. Il controllo del modello si occupa di determinare se un determinato sistema soddisfa una determinata proprietà, mentre la ricerca del modello trova un sistema per soddisfare una determinata raccolta di proprietà. Lo strumento Lega impiega il controllo del modello e la ricerca del modello con buoni risultati ed è abbastanza utilizzabile.